Matrice et applications linéaires

C'est un cas particulier de la propriété générale. En remarquant que la matrice de passage d'une base à elle-même est la matrice unité, la formule générale donne donc les deux formules suivantes :

\([\phi]_{\mathcal B'_E}^{\mathcal B_F}=[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\mathcal P_{\mathcal B_E,\mathcal B'_E}\textrm{ et }[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B'_F}=(\mathcal P_{\mathcal B_F,\mathcal B'_F})^{-1}[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}=\mathcal P_{\mathcal B'_F,\mathcal B_F}[\phi]_{\mathcal B_E}^{\mathcal B_F}\)

Compte tenu de ces résultats et de l'interprétation d'une matrice inversible comme matrice de passage entre deux bases, il est possible de faire les remarques suivantes :

Multiplier à droite la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace de départ.

Donc les matrices \(\mathcal A\) et \(\mathcal{AP},\) avec\( \mathcal P\) inversible, peuvent être considérées comme les matrices d'une même application linéaire avec deux bases différentes sur l'espace de départ et la même base sur l'espace d'arrivée.

De même, multiplier à gauche la matrice d'une application linéaire par une matrice inversible revient à changer de base sur l'espace d'arrivée.

Donc les matrices\( \mathcal A\) et \(\mathcal{AP}\), avec \(\mathcal P\) inversible, peuvent être considérées comme les matrices d'une même application linéaire avec deux bases différentes sur l'espace d'arrivée et la même base sur l'espace de départ.