Matrice d'une application linéaire

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Question

Montrer que les vecteurs \(U=(1,1,1),V=(1,1,0)\) et \(W=(1,0,0)\) forment une base de \(R^3\).

Soit \(f\) l'application linéaire de \(R^3\) dans lui-même définie par \(f((x,y,z)=(3x-y-z,2y-z,z)\), déterminer la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(R^3\) puis dans la base \((U,V,W)\).

Solution

Il est immédiat que le système \((U,V,W)\) est libre, il possède trois éléments et \(R^3\) est de dimension 3, c'est donc une base de \(R^3\).

Appelons \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique et \(B\) celle de \(g\) dans la base \((U,V,W)\).

\(A=\left[\begin{array}{c c c}3&-1&-1\\0&2&-1\\0&0&1\end{array}\right]\quad\begin{array}{cccccc}f(U)=(1,1,1)=U\\f(V)=(2,2,0)=2V\\f(W)=(3,0,0)=3W\end{array}\) donc \(B=\left[\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{array}\right]\)