Matrice, noyau, rang d'une application linéaire - 1 [Matrice et applications linéaires]

Matrice, noyau, rang d'une application linéaire - 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Soit \(g\) l'application linéaire de \(R^2\) dans \(R^3\), définie par \(g((u,v))=(u+v,u-v,v)\).

Déterminer sa matrice dans les bases canoniques, son noyau, son rang et son image.

La matrice de \(g\) est \(\left[\begin{array}{c c c}1&1\\1&-1\\0&1\end{array}\right]\)

\(W=(u,v)\in\mathrm{Ker}(g)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}u+&v=0&\\u-&v=0&\Leftrightarrow u=v=0\\&v=0&\end{array}\)

Donc \(\mathrm{Ker}(g)=\{(0,0)\}\). \(g\) est injective. On en déduit : \(\mathrm{rang}(g)=2-0,\mathrm{rang}(g)=2\) .

\(\mathrm{Im}(g)\) est donc un sous-espace de \(R^3\) de dimension 2.

\(\mathrm{Im}(g)\) est engendrée par \(g((1,0))\) et \(g((0,1))\).

Donc \((1,1,0)\) et \((1,-1,1)\) forment une base de \(\mathrm{Im}(g)\).

\(g\) n'est pas surjective.