Matrice, noyau, rang d'une application linéaire - 2
Durée : 6 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(f\) l'application linéaire de \(R^3\) dans \(R^2\), définie par \(f((x,y,z))=(2x+y+z,y-z)\).
Déterminer sa matrice dans les bases canoniques, son noyau, son rang et son image.
Solution
La matrice de \(f\) est \(\left[\begin{array}{c c c}2&1&1\\0&1&-1\end{array}\right]\)
\(V=(x,y,z)\in\mathrm{Ker}(f)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}2x+&y+z=0\\&y-z=0\end{array}\quad\left\{\begin{array}{cccccc}x&=&-z\\y&=&z\end{array}\Leftrightarrow V=(-z,z,z)=z(-1,1,1)\)
Donc \(\mathrm{Ker}(f)\) admet \((-1,1,1)\) pour base.
On en déduit : \(\mathrm{rang}(f)=3-1,\mathrm{rang}(f)=2\) , ce qui se lisait aussi sur la matrice.
\(Im(f)\) est un sous-espace de \(R^2\) de dimension 2, d'où \(\mathrm{Im}(f)=R^2\).
Remarque :
\(f\) est surjective et n'est pas injective.