Composée d'applications linéaires
Durée : 6 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(f\) l'application linéaire de \(R^3\) dans \(R^2\), définie par \(f((x,y,z))=(2x+y+z,y-z)\) et \(g\) celle de \(R^2\) dans \(R^3\) définie par \(g((u,v))=(u+v,u-v,v)\).
\(g\bigcirc f\) est-elle définie ?
Si oui, déterminer la matrice de \(g\bigcirc f\) relativement aux bases canoniques,
ainsi que l'image par \(g\bigcirc f\) d'un élément quelconque de l'espace de départ.
Solution
\(g\bigcirc f\) est définie car \(\mathrm{Im}(f)\) est contenue dans \(R^2\) et \(g\) est définie sur \(R^2\).
\(g\bigcirc f\) est définie : c'est une application linéaire de \(R^3\) dans \(R^3\).
Sa matrice est \(\left[\begin{array}{c c c}1&1\\1&-1\\0&1\end{array}\right]*\left[\begin{array}{c c c}2&1&1\\0&1&-1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}2&2&0\\2&0&2\\0&1&-1\end{array}\right]\)
Donc \(g\bigcirc f((x,y,z))=(2x+2y,2x+2z,y-z)\).