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Composer dans un espace de fonctions polynômes

Enoncé global

Soit l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3, muni de sa base canonique .

On définit l'endomorphisme de par

( derivée première de , dérivée seconde et dérivée troisième)

Question n°1

En utilisant la définition d'une matrice associée à un endomorphisme relativement à une base, trouver la matrice .

Question n°2

Exprimer l'endomorphisme à l'aide de l'endomorphisme de défini par puis utiliser la matrice pour retrouver .

Question n°3

Calculer les endomorphismes , .

Question n°4

a. Qu'en déduit-on sur la matrice ?

b. Trouver une fonction polynôme de degré au plus 3 solution de l'équation différentielle :

.

Légende :
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