Composer dans un espace de fonctions polynômes

Partie

Soit \(E=P_3\) l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 3, muni de sa base canonique \(B=(\phi_0,\phi_1,\phi_2,\phi_3)\).

On définit l'endomorphisme \(L\) de \(E\) par

\(\begin{array}{lllllll}L :&E&\rightarrow&E\\&P&\mapsto&P+P'+P''+P'''\end{array}\)

(\(P'\) derivée première de \(P\), \(P''\) dérivée seconde et \(P'''\) dérivée troisième)

Question

En utilisant la définition d'une matrice associée à un endomorphisme relativement à une base, trouver la matrice \(A=[L]_B\).

Aide simple

Calculer chaque \(L(\phi_i)\quad0\le i\le3\).

Aide à la lecture

Les éléments de la base \(B\) sont

\(\begin{array}{lllllll}&\mathbb R&\rightarrow&\mathbb R\\\phi_0 :&x&\mapsto&1\\\phi_1 :&x&\mapsto&x\\\phi_2 :&x&\mapsto&x^2\\\phi_3 :&x&\mapsto&x^3\end{array}\)

Un endomorphisme est une application linéaire de \(E\) dans lui même.

Solution détaillée

On calcule les images des vecteurs de la base \(B\).

\(\left\{\begin{array}{ll}L(\phi_0)=\phi_0+\phi_0'+\phi_0''+\phi_0'''=\phi_0\\L(\phi_1)=\phi_1+\phi_1'+\phi_1''+\phi_1'''=\phi_1+\phi_0\\L(\phi_2)=\phi_2+\phi_2'+\phi_2''+\phi_2'''=\phi_2+2\phi_1+2\phi_0\\L(\phi_3)=\phi_3+\phi_3'+\phi_3''+\phi_3'''=\phi_3+3\phi_2+6\phi_1+6\phi_0\end{array}\right.\)

\(\left\{\begin{array}{llllll}L(\phi_0)&=&\phi_0&&&\\L(\phi_1)&=&\phi_0&+\phi_1&&\\L(\phi_2)&=&2\phi_0&+2\phi_1&+\phi_2\\L(\phi_3)&=&6\phi_0&+6\phi_1&+3\phi_2&+\phi_3\end{array}\right.\)

Ces formules donnent les colonnes de \(A\), ainsi \(A=\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&6\\0&1&2&6\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{array}\right)\).

Question

Exprimer l'endomorphisme \(L\) à l'aide de l'endomorphisme \(D\) de \(E\) défini par \(D(P)=P'\) puis utiliser la matrice \(N=[D]_B\) pour retrouver \(A=[L]_B\).

Aide simple

Remarquer \(L=\textrm{Id}_E+D+D\bigcirc D+D\bigcirc D\bigcirc D\).

Aide à la lecture

Les éléments de la base \(B\) sont

\(\begin{array}{lllllll}&\mathbb R&\rightarrow&\mathbb R\\\phi_0 :&x&\mapsto&1\\\phi_1 :&x&\mapsto&x\\\phi_2 :&x&\mapsto&x^2\\\phi_3 :&x&\mapsto&x^3\end{array}\)

Un endomorphisme est une application linéaire de \(E\) dans lui même.

Aide méthodologique

Calculer \(D\bigcirc D(P)\quad(P\in E)\), exprimer \(L\) en fonction de \(\textrm{Id}_E,D,D\bigcirc D,\cdots\) puis en déduire \(A\) en fonction de \(I_4,N,N^2,\cdots\)

Solution détaillée

On constate pour toute fonction \(P\),

\(L(P)=P+P'+P''+P'''=\textrm{Id}_E(P)+D(P)+D\bigcirc D(P)+D\bigcirc D\bigcirc D(P)\)

donc \(L=Id_E+D+D\bigcirc D+D\bigcirc D\bigcirc D\).

De cette égalité sur les morphismes, on déduit l'égalité des matrices associées \(A=I_4+N+N^2+N^3\).

Or \(D(\phi_0)=0\quad D(\phi_1)=\phi_0\quad D(\phi_2)=2\phi_1\quad D(\phi_3)=3\phi_2\) d'où

\(I_4=\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\quad N=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{array}\right)\quad N^2=\left(\begin{array}{cccc}0&0&2&0\\0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\quad N^3=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\)

enfin \(A=I_4+N+N^2+N^3==\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&6\\0&1&2&6\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{array}\right).\)

Question

Calculer les endomorphismes \(L\bigcirc(\textrm{Id}_E-D)\), \((\textrm{Id}_E-D)\bigcirc L\).

Aide simple

Si vous utilisez le calcul sur les endomorphismes, constatez \(D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc D=0\).

Aide à la lecture

Les éléments de la base \(B\) sont

\(\begin{array}{lllllll}&\mathbb R&\rightarrow&\mathbb R\\\phi_0 :&x&\mapsto&1\\\phi_1 :&x&\mapsto&x\\\phi_2 :&x&\mapsto&x^2\\\phi_3 :&x&\mapsto&x^3\end{array}\)

Un endomorphisme est une application linéaire de \(E\) dans lui même.

Aide méthodologique

Choisir entre le calcul direct sur les endomorphismes et le calcul matriciel.

Solution détaillée
  • Première méthode :

    \(L\bigcirc(\textrm{Id}_E-D)=(\textrm{Id}_E+D+D\bigcirc D+D\bigcirc D\bigcirc D)\bigcirc(\textrm{Id}_E-D)\)

    \(=\textrm{Id}_E\bigcirc\textrm{Id}_E+D\bigcirc\textrm{Id}_E+D\bigcirc D\bigcirc\textrm{Id}_E+D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc\textrm{Id}_E-\textrm{Id}_E\bigcirc D-D\bigcirc D-D\bigcirc D\bigcirc D-D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc D\)

    \(=\textrm{Id}_E+D+D\bigcirc D+D\bigcirc D\bigcirc D-D-D\bigcirc D-D\bigcirc D\bigcirc D-D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc D\)

    \(=\textrm{Id}_E-D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc D\)

    Or la dérivée quatrième de toute fonction polynôme de degré au plus 3 est nulle

    donc \(D\bigcirc D\bigcirc D\bigcirc D=0\) et \(L\bigcirc(\textrm{Id}_E-D)=\textrm{Id}_E\).

    De la même façon on développe \((\textrm{Id}_E-D)\bigcirc L\) et on trouve \((\textrm{Id}_E-D)\bigcirc L=\textrm{Id}_E\).

  • Deuxième méthode :

    On effectue les produits des matrices associées

    \(\begin{array}{ccc}A(I_4-N)&=&\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&6\\0&1&2&6\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{array}\right)\times\left[\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{array}\right)\right]\\&=&\left(\begin{array}{cccc}1&1&2&6\\0&1&2&6\\0&0&1&3\\0&0&0&1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&0\\0&0&1&-3\\0&0&0&1\end{array}\right)\\&=&\left(\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right)\\&=&I_4\end{array}\)

    Par des calculs analogues \((I_4-N)A=I_4\).

    A partir de ces égalités matricielles on obtient les égalités des endomorphismes :

    \(L\bigcirc(\textrm{Id}_E-D)=\textrm{Id}_E, \quad(\textrm{Id}_E-D)\bigcirc L=\textrm{Id}_E\)

Question

a. Qu'en déduit-on sur la matrice \(A\) ?

b. Trouver une fonction polynôme de degré au plus 3 solution de l'équation différentielle :

\(y'''+y''+y'+y=Q \quad(1)\)\(\forall x\in\mathbb R, Q(x)=x^3-2x^2-x+3\).

Solution détaillée

a. De la question précédente on déduit que l'endomorphisme \(L\) est bijectif et admet l'endomorphisme \(\textrm{Id}_E-D\) comme réciproque.

Donc la matrice \(A\) associée à \(L\) est inversible et la matrice associée à \(\textrm{Id}_E-D\) est son inverse, alors

\(A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&-3\\0&0&1&-3\\0&0&0&1\end{array}\right)\).

b. L'équation différentielle \((1)\) peut s'écrire \(L(P)=Q\), l'endomorphisme \(L\) étant bijectif, il y a une solution \(P=L^{-1}(Q)\).

Si \(\forall x\in\mathbb R\quad P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\), cette égalité se traduit matriciellement par \(\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-2&0\\0&0&1&-3\\0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\-1\\-2\\1\end{array}\right)\)

donc \(\left(\begin{array}{c}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\3\\-5\\1\end{array}\right)\)

d'où la fonction polynôme cherchée est définie par \(\forall x\in\mathbb R\quad P(x)=x^3-5x^2+3x+4\).

Remarque

Cette méthode matricielle a permis de trouver une solution particulière à l'équation différentielle proposée. Ceci n'est pas la résolution complète.