Matrice d'un endomorphisme de P2(R)
Partie
Soit \(P_2(\mathbb R)\) le \(\mathbb R\)-espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et soit \(\phi\) l'application linéaire de \(P_2(\mathbb R)\) dans lui-même qui à toute fonction polynôme \(p\) de \(P_2(\mathbb R)\) associe la fonction polynôme \(q\) telle que :
pour tout réel \(x\), \(q(x)=p(0)+p'(1)x+p(1)x^2\)
Question
Ecrire la matrice \(M\) de \(\phi\) dans la base canonique de \(P_2(\mathbb R)\).
Aide à la lecture
Pour tout élément \(p\) de \(P_2(\mathbb R)\) il existe un triplet unique \((a,b,c)\) de \(\mathbb R^3\) tel que pour tout réel \(x\), \(p(x)=a+bx+cx^2\).
L'espace vectoriel \(P_2(\mathbb R)\) a pour dimension 3 et la base canonique de \(P_2(\mathbb R)\) est \(B=(f_0,f_1,f_2)\) où pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=1\), \(f_1(x)=x\), \(f_2(x)=x^2\)
alors \(p=af_0+bf_1+cf_2\).
Aide méthodologique
Soit \(p\) un élément de \(P_2(\mathbb R)\) tel que pour tout réel \(x\), \(p(x)=a+bx+cx^2\). Soit \(\phi(p)=q\). En utilisant la définition de \(\phi\) écrire \(q(x)\), puis connaissant les coordonnées de \(p\) et de \(\phi(p)\) dans la base canonique de \(P_2(\mathbb R)\), écrire la matrice \(M\) de \(\phi\) dans la base canonique.
Solution détaillée
Soit \(p\) une fonction polynôme de \(P_2(\mathbb R)\). Il existe un triplet unique \((a,b,c)\) de \(\mathbb R^3\) tel que pour tout réel \(x\) \(p(x)=a+bx+cx^2\), alors \(p(0)=a\), \(p'(1)=b+2c\), \(p(1)=a+b+c\).
D'où, l'image \(q\) de \(p\) par \(\phi\) est définie par : \(q(x)=a+(b+2c)x+(a+b+c)x^2\).
La matrice colonne des coordonnées de \(p\) dans la base canonique \(B\) de \(P_2(\mathbb R)\) est \(\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\), celle de \(\phi(p)\) est \(\left(\begin{array}{c}a\\b+2c\\a+b+c\end{array}\right)\).
Or \(\left(\begin{array}{c}a\\b+2c\\a+b+c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&2\\1&1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)\).
La matrice \(M\) de \(\phi\) dans la base canonique \(B\) est donc : \(M=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&2\\1&1&1\end{array}\right)\).
Question
Montrer que pour toute fonction polynôme \(s\) de \(P_2(\mathbb R)\) il existe une fonction polynôme \(p\) et une seule telle que \(\phi(p)=s\).
Que peut-on en conclure pour l'application \(\phi\)?
Aide à la lecture
Pour tout élément \(p\) de \(P_2(\mathbb R)\) il existe un triplet unique \((a,b,c)\) de \(\mathbb R^3\) tel que pour tout réel \(x\), \(p(x)=a+bx+cx^2\).
L'espace vectoriel \(P_2(\mathbb R)\) a pour dimension 3 et la base canonique de \(P_2(\mathbb R)\) est \(B=(f_0,f_1,f_2)\) où pour tout réel \(x\), \(f_0(x)=1\), \(f_1(x)=x\), \(f_2(x)=x^2\)
alors \(p=af_0+bf_1+cf_2\).
Aide méthodologique
Les éléments \(s\) et \(p\) sont déterminés par leurs coordonnées dans la base \(B\). Se donner \(s\) revient à se donner un triplet \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) et chercher \(p\) revient à chercher un triplet \((a,b,c)\) de \(\mathbb R^3\).
En utilisant la question précédente. écrire l'égalité \(\phi(p)=s\), puis en déduire que le triplet \((a,b,c)\) est solution d'un système. Résoudre ce système.
Solution détaillée
Soit \(s\) une fonction polynôme de \(P_2(\mathbb R)\).
Il existe un triplet unique \((\alpha,\beta,\gamma)\) de \(\mathbb R^3\) tel que pour tout réel \(x\), \(s(x)=\alpha+\beta x+\gamma x^2\).
On cherche s'il existe un élément \(p\) de \(P_2(\mathbb R)\) tel que \(\phi(p)=s\), c'est-à-dire on cherche s'il existe un triplet \((a,b,c)\) de \(\mathbb R^3\) tel que :
\(af_0+(b+2c)f_1+(a+b+c)f_2=\alpha f_0+\beta f_1+\gamma f_2\quad(1)\)
L'écriture d'un élément de \(P_2(\mathbb R)\) dans la base canonique \(B\) étant unique
\((1)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llllllll}a&&&=\alpha\\&b&+2c&=\beta\\a&+b&+c&=\gamma\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllllll}a&&&=\alpha\\&b&+2c&=\beta\\&b&+c&=\gamma-\alpha\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llllll}a=&\alpha\\b=&-2\alpha-\beta+2\gamma\\c=&\alpha+\beta-\gamma\end{array}\right.\)
Le triplet \((a,b,c)\) existe et est unique. L'élément \(s\) de \(P_2(\mathbb R)\) admet donc un unique antécédent dans \(P_2(\mathbb R)\).
L'application \(\phi\) est donc bijective.
Question
Montrer que la matrice \(M\) est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Aide méthodologique
Utiliser le résultat obtenu sur l'application \(\phi\) à la question précédente et le théorème suivant :
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(B\) une base de \(E\), et \(f\) un endomorphisme de \(E\). \(f\) est bijective si et seulement si sa matrice dans la base \(B\) est inversible, et si \(f\) est bijective alors \(\textrm{Mat}_B(f^{-1})=(\textrm{Mat}_B(f))^{-1}\).
Solution détaillée
La matrice \(M\) est la matrice de l'application \(\phi\) dans la base canonique \(B\). L'application \(\phi\) étant bijective, la matrice \(M\) est inversible et sa matrice inverse est la matrice de l'application réciproque de \(\phi\).
D'après la première question l'application \(\phi^{-1}\) associe à tout élément \(\alpha f_0+\beta f_1+\gamma f_2\) l'élément \(\alpha f_0+(-2\alpha-\beta+2\gamma)f_1+(\alpha+\beta-\gamma)f_2\).
On a donc \(\left(\begin{array}{c}\alpha\\-2\alpha-\beta+2\gamma\\\alpha+\beta-\gamma\end{array}\right)=\textrm{Mat}_B(\phi^{-1})\left(\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right)\).
Or \(\left(\begin{array}{c}\alpha\\-2\alpha-\beta+2\gamma\\\alpha+\beta-\gamma\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\-2&-1&2\\1&1&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha\\\beta\\\gamma\end{array}\right)\).