Matrice d'un endomorphisme du C-espace vectoriel C3
Partie
Soit \(\phi\) l'endomorphisme du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(\mathbb C^3\) dont la matrice dans la base canonique \(B=(e_1,e_2,e_3)\) est :
\(A=\left(\begin{array}{ccc}2&2&1\\-2+2i&-2+1&-1-i\\-2+i&-1+i&-i\end{array}\right)\)
Question
Soit \(f_1=e_1-e_2\), \(f_2=e_2+ie_3\), \(f_3=e_1-e_2+ie_3\).
Montrer que \(B'=(f_1,f_2,f_3)\) est une base de \(\mathbb C^3\).
Ecrire la matrice \(A'\) de \(\phi\) dans la base \(B'\).
Aide à la lecture
Un élément de \(\mathbb C^3\) est un triplet \((z,z',z'')\) où \(z, z', z''\) sont des nombres complexes.
La base canonique du \(\mathbb C\)-espace vectoriel \(\mathbb C^3\) est \(B=(e_1,e_2,e_3)\) avec \(e_1=(1,0,0)\), \(e_2=(0,1,0)\), \(e_3=(0,0,1)\).
Le corps des scalaires est le corps des nombres complexes.
Solution détaillée
\(\textrm{dim }\mathbb C^3=3\). Pour montrer que \(B'\) est une base de \(\mathbb C^3\) il suffit de démontrer que les trois vecteurs \(f_1, f_2,f_3\) sont linéairement indépendants.
Soit \((\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\) un triplet de \(\mathbb C^3\),
\(\begin{array}{llllllll}\lambda_1f_1+\lambda_2f_2+\lambda_3f_3=0&\Leftrightarrow&(\lambda_1+\lambda_3)e_1+(-\lambda_1+\lambda_2-\lambda_3)e_2+(i\lambda_2+i\lambda_3)e_3=0\\\\&\Leftrightarrow&\left\{\begin{array}{cccc}\lambda_1&&+\lambda_3&=0\\-\lambda_1&+\lambda_2&-\lambda_3&=0\\&\lambda_2&+\lambda_3&=0\end{array}\right.\\\\&\Leftrightarrow&\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\end{array}\)
Les trois vecteurs \(f_1,f_2,f_3\) sont linéairement indépendants, \(B'\) est donc une base de \(\mathbb C^3\).
La matrice colonne des coordonnées de \(f_1\) dans la base \(B\) est \(\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)\).
\(\left(\begin{array}{ccc}2&2&i\\-2+2i&-2+i&-1-i\\-2+i&-1+i&-1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\i\\-1\end{array}\right)\) donc \(\phi(f_1)=ie_2-e_3=if_2\).
En procédant de même on trouve \(\phi(f_2)=f_3\) et \(\phi(f_3)=-f_1\).
Donc \(A'=\left(\begin{array}{ccc}0&0&-1\\i&0&0\\0&1&0\end{array}\right)\).
Question
Calculer \(A'^3\).
En déduire que \(A'\) est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Solution détaillée
\(A'^2=\left(\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&0&-i\\i&0&0\end{array}\right)\quad A'^3=\left(\begin{array}{ccc}-i&0&0\\0&-i&0\\0&0&-i\end{array}\right)\)
d'où \(A'^3=-iI\) avec \(I=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\).
\(A'(iA'^2)=(iA'^2)A'=I\) donc \(A'\) est inversible et \(A'^{-1}=iA'^2=\left(\begin{array}{ccc}0&-i&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{array}\right)\).
Question
Montrer que la matrice \(A\) est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Aide méthodologique
Les matrices \(A\) et \(A'\) représentent la même application \(\phi\) respectivement dans les bases \(B\) et \(B'\). Les calculs sur la matrice \(A'\) sont plus simples qu'avec la matrice \(A\). Les résultats obtenus sur \(A'\) permettent de donner des résultats sur l'application \(\phi\) qui permettent à leur tour d'avoir des résultats sur la matrice \(A\).
On se sert pour cela des propriétés suivantes :
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, \(B\) une base de \(E\), et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Alors, pour tout entier \(n\), \(\textrm{Mat}_B(f^n)=(\textrm{Mat}_B(f))^n\) et, \(f\) est bijective si et seulement si sa matrice dans la base \(B\) est inversible. Si f est bijective alors \(\textrm{Mat}_B(f^{-1})=(\textrm{Mat}_B(f))^{-1}\).
Solution détaillée
La matrice \(A'\) est la matrice de \(\phi\) dans la base \(B'\), elle est inversible donc l'endomorphisme \(\phi\) est bijectif, donc la matrice \(A\) qui est la matrice de \(\phi\) dans la base \(B\) est elle aussi inversible.
Soit \(\phi^{-1}\) l'application réciproque de \(\phi\).
\(A'^{-1}=\textrm{Mat}_{B'}(\phi^{-1})\), \(A'^2=\textrm{Mat}_{B'}(\phi^2)\) et \(iA'^2=\textrm{Mat}_{B'}(i\phi^2)\) où \(\phi^2=\phi\bigcirc\phi\).
De l'égalité \(A'^{-1}=iA'^2\), on peut déduire l'égalité \(\phi^{-1}=i\phi^2\).
Or, dans la base \(B\), \(A\) étant la matrice de \(\phi\), \(A^{-1}\) est la matrice de \(\phi^{-1}\), \(A^2\) celle de \(\phi\bigcirc\phi\) et \(iA^2\) celle de l'application \(i\phi^2\) d'où \(A^{-1}=iA^2\).
\(A^2=\left(\begin{array}{ccc}2&2&i\\-2+2i&-2+i&-1-i\\-2+i&-1+i&-i\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc}2&2&i\\-2+2i&-2+i&-1-i\\-2+i&-1+i&-i\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2i-1&i-1&-1\\i-1&1&0\\-3&-2&-2i\end{array}\right)\)