Matrice et applications linéaires

Dans l'espace vectoriel \(F(\mathbb R,\mathbb R)\), \(E\) est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(\psi_1,\psi_2,\psi_3\) c'est donc un sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\). En particulier \(E\) est un espace vectoriel.

De plus par construction \(E\) est engendré par la famille \(\psi_1,\psi_2,\psi_3\).

Vérifions que cette famille est libre.

Soient \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) des réels tels que \(\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2+\lambda_3\psi_3=0\)

alors \(\forall x\in\mathbb R\quad\lambda_1+\lambda_2\textrm{ cos }x+\lambda_3\textrm{ sin }x=0\).

Pour des valeurs particulières \(\left\{\begin{array}{lllll}\lambda_1&+\lambda_2&&=0&\textrm{ si }x=0\\\lambda_1&-\lambda_2&&=0&\textrm{ si }x=\pi\\\lambda_1&&+\lambda_3&=0&\textrm{ si }\displaystyle{x=\frac{\pi}{2}}\end{array}\right.\),

les deux premières lignes impliquent \(\lambda_1=\lambda_2=0\) puis la troisième \(\lambda_3=0\).

La famille \(\psi_1,\psi_2,\psi_3\) est donc génératrice et libre dans \(E\) ainsi \(B\) est une base de \(E\).

a. Soit \((a,b,c)\in\mathbb R^3\) tel que \(\forall x\in\mathbb R\quad f(x)=a+b\textrm{ cos }x+c\textrm{ sin }x\) alors

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=a+b\textrm{ cos }\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+c\textrm{ sin }\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=a-b\textrm{ sin }x+c\textrm{ cos }x}\)

donc en notant \(a'=a\), \(b'=c\), \(c'=-b\), on obtient \(\forall x\in\mathbb R\quad g(x)=a'+b'\textrm{ cos }x+c'\textrm{ sin }x\) d'où \(g\) est élément de \(E\).

b. Soit deux réels \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) et deux vecteurs de \(E\) \(f_1\), \(f_2\).

Notons \(f=\lambda_1f_1+\lambda_2f_2\) alors si \(g=T(f)\),

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad g(x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\) par définition de \(f\),

donc \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad g(x)=\lambda_1f_1\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\lambda_2f_2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\) d'après les lois de \(F(\mathbb R,\mathbb R)\),

d'où \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad g(x)=\lambda_1g_1(x)+\lambda_2g_2(x)}\) ce qui exprime \(g=\lambda_1g_1+\lambda_2g_2\), c'est à dire \(T(f)=\lambda_1T(f_1)+\lambda_2T(f_2)\).

Conclusion : \(T(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2)=\lambda_1T(f_1)+\lambda_2T(f_2)\) et \(T\) est linéaire.

c. Pour trouver \(A\) on recherche les images par \(T\) des vecteurs de la base \(B\).

\(\begin{array}{lll}\forall x\in\mathbb R&\displaystyle{\psi_1\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=1=\psi_1(x)}&\Rightarrow T(\psi_1)=\psi_1\\\forall x\in\mathbb R&\displaystyle{\textrm{cos }\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}=-\textrm{sin }x&\Rightarrow T(\psi_2)=-\psi_3\\\forall x\in\mathbb R&\displaystyle{\textrm{sin }\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}=-\textrm{cos }x&\Rightarrow T(\psi_3)=\psi_2\end{array}\)

D'où \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{array}\right)\).

a. Soit \(f\in E\) on définit la fonction \(h\) par \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad h(x)=f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}\), par une démonstration analogue à celle de la question 2. on montre que \(h\in E\) et que l'application \(\begin{array}{lllllll}U :&E&\rightarrow&E\\&f&\mapsto&h\end{array}\) est linéaire.

Soit \(f\) un élément de \(E\) notons \(k\) l'élément \(k=U\bigcirc T(f)=U(T(f))=U(g)\)

alors \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad k(x)=g\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{2}\right)=f(x)}\) donc \(k=f\).

On vient de montrer : \(\forall f\in E\quad U\bigcirc T(f)=f\) d'où \(U\bigcirc T=\textrm{Id}_E\).

Par une démarche analogue on démontre \(T\bigcirc U=\textrm{Id}_E\).

b. L'endomorphisme \(T\) étant bijectif sa matrice associée \(A\) est inversible et \(A^{-1}=[U]_B\),

or \(U(\psi_1)=\psi_1\quad U(\psi_2)=\psi_3\quad U(\psi_3)=-\psi_2\)

d'où \(A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}\right)\)

Par construction de \(T\) si \(f\) est élément de \(E\)

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad[T(f)](x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}\right)}\)

donc \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad[T\bigcirc T(f)](x)=f\left(x+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=f(x+\pi)}\)

on en déduit \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad[T\bigcirc T\bigcirc T(f)](x)=f\left(x+3\frac{\pi}{2}\right)}\)

puis \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb R\quad[T\bigcirc T\bigcirc T\bigcirc T(f)](x)=f\left(x+4\frac{\pi}{2}\right)=f(x+2\pi)}\)

or \(f(x+2\pi)=f(x)\), on a ainsi démontré \(\forall f\in E\quad T\bigcirc T\bigcirc T\bigcirc T(f)=f\)

d'où \(T\bigcirc T\bigcirc T\bigcirc T=\textrm{Id}_E\).

De cette égalité entre endomorphismes on déduit l'égalité des matrices associées \(A^4=I_3\).