Définition du rang d'une matrice
Définition : Rang d'une matrice
Soit \(\mathcal A\) une matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes, de terme général \(a_{i,j}\) appartenant à\( \mathbf K\). Les vecteurs colonnes de \(\mathcal A\) sont notées\( \mathcal C_1,\mathcal C_2,\cdots,\mathcal C_p\). Ce sont des vecteurs de \(\mathbf K^n\).
On appelle rang de \(\mathcal A\) la dimension du sous-espace vectoriel de \(\mathbf K^n\) engendré par \(\mathcal C_1,\mathcal C_2,\cdots,\mathcal C_p\).
Conséquence immédiate : Inégalité satisfaite par le rang d'une matrice
Comme il y a \(p\) vecteurs, la dimension du sous-espace qu'ils engendrent est inférieure ou égale à \(p\). Comme le sous-espace qu'ils engendrent est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf K^n\), sa dimension est inférieure ou égale à la dimension de \(\mathbf K^n\), soit \(n\). D'ou le résultat suivant :
Propriété :
Si \(\mathcal A\) est une matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes, son rang est inférieur ou égal à \(p\) et à \(n\), donc au minimum de \(n\) et de \(p\).