Exemple
Soit la matrice \(\mathcal M=\left(\begin{array}{cccccc}1&1&2\\0&1&3\end{array}\right)\). Avant même de se lancer dans un quelconque calcul, on peut remarquer que son rang est inférieur ou égal à \(2\) (d'après le résultat précédent). Comme les deux premiers vecteurs colonnes sont linéairement indépendants (car non colinéaires), le rang de \(\mathcal M\) est au moins égal à \(2\). Ces deux remarques montrent que le rang de \(\mathcal M\) est égal à \(2\).
Dans la pratique, à ce niveau, déterminer le rang d'une matrice revient à déterminer le rang d'une famille de vecteurs.
Méthode pratique de détermination du rang d'une famille finie de vecteurs
Proposition : Proposition 1
Le rang d'une famille de \(p\) vecteurs (\(p\geq 2\)) n'est pas modifié si l'on rajoute à l'un d'eux une combinaison linéaire des autres.
Conséquence
Soient \(\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_p\) des scalaires.
En appliquant successivement \(p-1\) fois le résultat précédent, on prouve que les familles \(\{v_1,v_2,\cdots,v_p\}\) et \(\{v_1,v_2-\alpha_2v_1,v_3-\alpha_3v_1\cdots,v_p-\alpha_pv_1\}\) ont le même rang.
Application
Dans la plupart des exemples, la recherche du rang concernera des vecteurs appartenant à un espace vectoriel \(E\) de type fini, vecteurs que l'on exprimera donc dans une base de \(E\).
On se place donc désormais dans cette situation. On s'appuiera alors sur la propriété suivante :
Proposition : Proposition 2
Soit \(E\) un espace de type fini et \(n\) sa dimension.
Soient \((e_1,e_2,\cdots,e_n)\) une base de \(E\) et \(w_1,w_2,\cdots,w_s\) des vecteurs de \(E\), dont les coordonnées dans la base \((e_1,e_2,\cdots,e_n)\) se présentent de la manière suivante :
\(\displaystyle{\begin{array}{ccccccccccccc}w_1&=&\alpha_{11}e_1&+&\alpha_{12}e_2&+&\cdots&+&\alpha_{1s}e_s&+&\cdots&+&\alpha_{1n}e_n\\w_2&=&&+&\alpha_{22}e_2&+&\cdots&+&\alpha_{2s}e_s&+&\cdots&+&\alpha_{2n}e_n\\\vdots&=&&&&\ddots&&&&&&&\\\vdots&=&&&&&\ddots&&&&&&\\\vdots&=&&&&&&\ddots&&&&&\\w_s&=&&&&&&&\alpha_{ss}e_s&+&\cdots&+&\alpha_{sn}e_n\end{array}}\)
avec, pour tous les entiers \(i\) compris entre \(1\) et \(s\), \(\alpha_{ii}\) non nul.
Alors les vecteurs \(w_1,w_2,\cdots,w_s\) sont linéairement indépendants et le rang des vecteurs \(w_1,w_2,\cdots,w_s\) est exactement égal à \(s\).
Méthode :
La recherche du rang d'une famille finie de vecteurs \(v_1,v_2,\cdots,v_p\), d'un espace de type fini consistera donc à utiliser la conséquence de la proposition \(1\) autant de fois qu'il est nécessaire pour se ramener à la recherche du rang d'une famille de vecteurs satisfaisants aux hypothèses de la proposition \(2\).
Soit \(v_1,v_2,\cdots,v_p\) donc une famille de vecteurs de \(E\), tous non nuls, et \((e_1,e_2,\cdots,e_n)\) une base de \(E\).
On choisira un vecteur de la base et un vecteur de la famille dont la coordonnée sur ce vecteur de base soit non nulle (existent puisque sont tous non nuls). Pour faciliter l'exposition, supposons par exemple\( v_1\) que ait une coordonnée non nulle sur \(e_1\).
Alors, on choisira des scalaires \(\alpha_2,\alpha_3,\cdots,\alpha_p\) de telle sorte que la coordonnée des vecteurs \(v_2-\alpha_2v_1,v_3-\alpha_3v_1\cdots,v_p-\alpha_pv_1\) sur \(e_1\) soit nulle. Il sera alors tout à fait clair que, si l'on dresse, comme dans l'énoncé de la proposition 2, le tableau des coordonnées des vecteurs \(v_1,v_2-\alpha_2v_1,v_3-\alpha_3v_1\cdots,v_p-\alpha_pv_1\), la " première colonne " aura tous ses éléments, sauf le premier, nuls.
En recommençant, à partir des vecteurs \(v_2-\alpha_2v_1,v_3-\alpha_3v_1\cdots,v_p-\alpha_pv_1\) et d'un autre vecteur de base, on se ramène au bout d'un nombre fini d'étapes au cas d'un système de vecteurs satisfaisants aux hypothèses de la proposition \(2\).
Résultat supplémentaire
Il est intéressant de noter que cette méthode permet non seulement de déterminer le rang des vecteurs \(v_1,v_2,\cdots,v_p\), mais aussi les relations de dépendance linéaire qui existent entre ces vecteurs.