Équation cartésienne d'un plan vectoriel dans R3

Partie

Question

On considère dans l'espace vectoriel \(R^3\) les deux vecteurs :

\(u_1=(-2,2,1)\), \(u_2=(2,0,3)\)

  1. Vérifier que ces deux vecteurs sont linéairement indépendants.

  2. Déterminer une équation cartésienne du plan vectoriel \(F\) engendré par \(\{u_1,u_2\}\).

Aide méthodologique

Pour démontrer que les deux vecteurs \(u_1,u_2\) sont linéairement indépendants il suffit d'extraire un mineur d'ordre 2 non nul de la matrice des coordonnées de \(u_1,u_2\).

Les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) est combinaison linéaire de \(u_1,u_2\) si et seulement si la famille \(\{v,u_1,u_2\}\) est liée.

Aide à la lecture

Les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, le sous-espace vectoriel \(F\) engendré par ces deux vecteurs est de dimension 2 et \(\{u_1,u_2\}\) détermine une base de ce sous-espace : \(F\) est donc un plan vectoriel de \(R^3\).

Une équation cartésienne de ^\(\)est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) appartienne à \(F\).

Solution détaillée
  1. La matrice des coordonnées des vecteurs \(u_1,u_2\) est :

    \(\left(\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\\1&3\end{array}\right)\)

    On peut en extraire un mineur non nul, par exemple \(\left|\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\end{array}\right|=-4\)

    Les vecteurs \(u_1,u_2\) sont donc linéairement indépendants.

    Remarque

    On pouvait justifier que les vecteurs \(u_1,u_2\) sont linéairement indépendants en remarquant que la deuxième composante de \(u_2\) est nulle alors que ce n'est pas le cas pour \(u_1\), donc ils ne sont pas colinéaires.

  2. Un vecteur \(v=(x,y,z)\) de \(R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si \(v\) est combinaison linéaire de \(u_1,u_2\); les vecteurs \(u_1,u_2\) étant linéairement indépendants, ceci est équivalent à la propriété " la famille \(\{v,u_1,u_2\}\) est liée ".

    D'où \(v\in F\Leftrightarrow \det(v,u_1,u_2)=0\).

    On obtient donc la condition nécessaire et suffisante :

    \(\left|\begin{array}{ccc}x&-2&2\\y&2&0\\z&1&3\end{array}\right|=0\)

    D'où, en développant suivant la première colonne :

    \(x\left|\begin{array}{cc}2&0\\1&3\end{array}\right|-y\left|\begin{array}{cc}-2&2\\1&3\end{array}\right|+z\left|\begin{array}{cc}-2&2\\2&0\end{array}\right|=0\)

    \(6x+8y-4z=0\)

    Une équation cartésienne du plan vectoriel \(F\) est donc :

    \(3x+4y-2z=0\)