Inversibilité d'une matrice d'ordre 2 ou 3 sans paramètre
Partie
Question
Indiquer pour les matrices suivantes si elles sont inversibles et, si oui, calculer leur inverse en utilisant la matrice des cofacteurs.
\(A_1=\left(\begin{array}{cc}-2&3\\1&-1\end{array}\right)\)
\(A_2=\left(\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&2&1\\2&1&3\end{array}\right)\)
\(A_3=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&1&1\\0&2&2\end{array}\right)\)
Aide méthodologique
Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Si une matrice \(A\) est inversible, son inverse est égale à :
\(A^{-1}=\frac{1}{\det A}^t(\textrm{com} A)\)
où \(\textrm{com} A\) désigne la matrice des cofacteurs de \(A\).
Solution détaillée
On calcule le déterminant des différentes matrices et si \(\det A\neq 0\) l'inverse de \(A\) est donnée par \(A^{-1}=\frac{1}{\det A}^t(\textrm{com} A\)
( \(\textrm{com} A\) désigne la matrice des cofacteurs de \(A\))
\(\det A_1=\left|\begin{array}{cc}-2&3\\1&-1\end{array}\right|=2-3=-1\)
\(\det A\neq 0\) donc la matrice \(A_1\) est inversible.
La matrice des cofacteurs de \(A_1\) est : \(\left(\begin{array}{cc}-1&-1\\-3&-2\end{array}\right)\)
La transposée de cette matrice est \(\left(\begin{array}{cc}-1&-3\\-1&-2\end{array}\right)\)
L'inverse de \(A_1\) est donc \((-1)\left(\begin{array}{cc}-1&-3\\-1&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&3\\1&2\end{array}\right)\)
\(\det A_2=\left|\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&2&1\\2&1&3\end{array}\right|=3\) (en utilisant la règle de Sarrus ou en développant suivant la première ligne après avoir ajouté la première colonne à la seconde)
\(\det A_2\neq 0\) donc la matrice \(A_2\) est inversible.
La matrice des cofacteurs de \(A_2\) est : \(\left(\begin{array}{ccc}5&2&-4\\3&3&-3\\-1&-1&2\end{array}\right)\)
Sa transposée est : \(\left(\begin{array}{ccc}5&3&-1\\2&3&-1\\-4&-3&2\end{array}\right)\)
La matrice inverse de \(A_2\) est : \(\frac13\left(\begin{array}{ccc}5&3&-1\\2&3&-1\\-4&-3&2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac53&1&-\frac13\\\frac23&1&-\frac13\\-\frac43&-1&\frac23\end{array}\right)\)
\(\det A_3=\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&1&1\\0&2&2\end{array}\right|=0\)
La matrice \(A_3\) n'est pas inversible.