Exercice 1
Partie
Question
Calculer le développement limité de \(f(x) = \sin{\left( \frac{\pi}{4} + x\right)}\) à l'ordre \(5\) en \(0\).
Solution simple
\(f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}~x - \frac{\sqrt{2}}{4}~x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{12}~x^{3} + \frac{\sqrt{2}}{48}~x^{4} + \frac{\sqrt{2}}{240}~x^{5} + x^{5} \epsilon (x)\)
Solution détaillée
On ne peut pas utiliser directement le développement de \(\sin{u}\) car \(u = \frac{\pi}{4} + x\) ne tend pas vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(0\).
On utilise d'abord la formule \(\sin{(a + b)} = ...\) pour pouvoir se ramener aux développements de \(\sin{x}\) et de \(\cos{x}\) :
\(\sin{\left( \frac{\pi}{4} + x \right)} = \sin{\frac{\pi}{4}}~\cos{x} + \cos~\frac{\pi}{4}~\sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}~\left( \cos{x} + \sin{x} \right)\)
Le développement limité de \(\cos{x}\) à l'ordre \(5\) au voisinage de \(0\) est : \(\cos{x} = 1 - (1/2)~x^{2} + (1/24)~x^{4} + x^{5}~\epsilon(x)\).
Celui de \(\sin{x}\) est : \(\sin{x} = x - (1/6)~x^{3} + (1/120)~x^{5} + x^{5}~\epsilon(x)\).
En additionnant et en multipliant par \(\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)\), on obtient :
\(f(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}~x - \frac{\sqrt{2}}{4}~x^{2} - \frac{\sqrt{2}}{12}~x^{3} + \frac{\sqrt{2}}{48}~x^{4} + \frac{\sqrt{2}}{240}~x^{5} + x^{5} \epsilon (x)\)