Sous-espace engendré par une partie finie
Théorème : Théorème de structure de l'ensemble des combinaisons linéaires

Soit une partie finie du vectoriel , alors l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs est un sous-espace vectoriel de ; c'est le plus petit sous-espace vectoriel de (au sens de l'inclusion) contenant les vecteurs : autrement dit, il est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant .

Preuve

On appelle l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs . Cet ensemble est non vide, car il contient la combinaison linéaire particulière qui vaut .

On peut également vérifier que appartiennent à , en effet pour tout compris entre et , est combinaison linéaire de (il suffit de considérer la combinaison linéaire où tous les coefficients sont nuls sauf le qui vaut 1).

Il s'agit maintenant de prouver que est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs.

Soit et deux vecteurs de et deux scalaires et .

Comme est élément de , il existe des scalaires tels que

De même, étant élément de , il existe des scalaires

tels que

D'où

En utilisant les règles de calcul dans un espace vectoriel, on obtient :

C'est une combinaison linéaire des vecteurs donc un élément de .

Si est un sous-espace vectoriel contenant alors il est stable par combinaison linéaire ; il contient donc toute combinaison linéaire des vecteurs . Par conséquent est inclus dans est le plus petit sous-espace (au sens de l'inclusion) contenant .

Complément : Notation

Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace engendré par , il est noté :

ou ou ou

Exemple

étant un vectoriel, et un élément quelconque de ,

l'ensemble est le sous-espace vectoriel de engendré par .

Il est souvent noté .

Soit l'espace vectoriel des applications de dans et , et les applications définies par :

, ,

Le sous-espace vectoriel de engendré par est l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2, c'est-à-dire de la forme

Méthode

On peut démontrer qu'une partie non vide d'un espace vectoriel est un sous-espace vectoriel de en montrant que est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de .

Exemple

Soit .

Un triplet de est élément de F si et seulement si , c'est-à-dire si et seulement si .

Donc u est élément de F si et seulement si u peut s'écrire :

Or on a l'égalité :

Donc F est l'ensemble des combinaisons linéaires de , c'est donc un sous-espace vectoriel : c'est le sous-espace vectoriel engendré par

Propriété : Propriété de transitivité

Soit un sous-espace engendré par vecteurs .

On suppose qu'il existe p vecteurs appartenant à tels que pour tout , soit une combinaison linéaire de .

Alors est engendré par .

La démonstration est laissée à titre d'exercice...

Légende :
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S'exercer
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