Sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque d'un espace vectoriel
Une construction analogue peut être faite en prenant une partie \(A\) quelconque non vide de \(E\) au lieu d'une partie finie.
Définition : Définition d'un sous-espace engendré par une partie
Soit \(A\) une partie non vide d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\). On définit le sous-espace vectoriel engendré par \(A\), comme étant l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de \(A\) :
\(\begin{array}{c}u \in \mathrm{Vect}(A)\\\Updownarrow\\\exists n \in \mathbb{N}^* \exists (v_1, v_2, ... , v_n) \in A^n \exists (\lambda_1, \lambda_2, ... ,\lambda_n) \in \mathbf K^n\end{array}\)
tel que
\(u = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_n v_n\)
Complément :
On démontre que c'est bien un sous-espace vectoriel de \(E\) et que c'est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant \(A\) (au sens de l'inclusion).
Exemple :
Pour \(k\) élément de \(\mathbb N^*\), si on note \(e_k\) la fonction définie sur \(\mathbb R x \mapsto x^k\) et \(e_0\) la fonction \(x \mapsto 1\), e sous-espace vectoriel engendré par la partie \(A = \{ e_k / k \in \mathbb N \}\) est l'ensemble des fonctions polynômes réelles.
Remarque :
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors \(\mathrm{Vect}(F) = F\)
Conséquence : pour toute partie \(A\) de \(E\), on a : \(\mathrm{Vect}(\mathrm{Vect}(A)) = \mathrm{Vect}(A)\)