Sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque d'un espace vectoriel

Une construction analogue peut être faite en prenant une partie quelconque non vide de au lieu d'une partie finie.

Définition : Définition d'un sous-espace engendré par une partie

Soit une partie non vide d'un vectoriel . On définit le sous-espace vectoriel engendré par , comme étant l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de :

tel que

Complément

On démontre que c'est bien un sous-espace vectoriel de et que c'est le plus petit sous-espace vectoriel de contenant (au sens de l'inclusion).

Exemple

Pour élément de , si on note la fonction définie sur et la fonction , e sous-espace vectoriel engendré par la partie est l'ensemble des fonctions polynômes réelles.

Remarque

Si est un sous-espace vectoriel de , alors

Conséquence : pour toute partie de , on a :

Légende :
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