Définition
Définition :
Soit \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(K\). Soit \(p\) un entier supérieur à \(1\) et \(p\) vecteurs de \(E\), \(v_1, v_2, ... , v_p\). Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) engendrent \(E\) si tout élément de \(E\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_i\), \(1 \le i \le p\), ce qui peut s'écrire, avec le symbolisme mathématique :
\(\forall x \in E, \exists (\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_p) \in K^p / \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_p v_p = x\)
Il est équivalent de dire que l'espace vectoriel \(E\) est égal à la somme des espaces vectoriels \(Kv_i, 1 \le i \le p\), en désignant par \(Kv_i\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(v_i\).
\(E = K v_1 + K v_2 + ... + K v_p\)
Il est aussi équivalent de dire que le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) est égal à l'espace vectoriel \(E\).
Complément : Vocabulaire
Si les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) engendrent \(E\), ils constituent un ensemble fini de générateurs de \(E\) ou une famille de générateurs de \(E\) (ou un système de générateurs de \(E\)); dans ce cas, l'ensemble \(\{v_1, v_2, ... , v_p\}\) est appelée aussi partie génératrice de \(E\).
Remarque : Quelques remarques sur le vocabulaire
Les termes "ensemble de générateurs" ou "famille de générateurs" sont les termes utilisés usuellement par la communauté mathématique, c'est pourquoi nous les avons indiqués ici.
Ils n'ont cependant pas le même statut. En effet, quand on parle d'une famille d'éléments d'un ensemble, il peut y avoir des éléments égaux.
Par contre quand on parle d'ensemble, le mot désigne une liste d'objets distincts et donc les éléments d'un ensemble sont distincts. Quant au mot système, nous l'avons indiqué pour mémoire car il est aussi usité mais de manière plus abusive.