Partie contenant une famille génératrice
Propriété

Soit un vectoriel admettant une famille finie de générateurs ; toute partie de contenant les vecteurs est encore une partie génératrice de .

Preuve

Ceci est tout à fait immédiat en reprenant la définition de sous-espace engendré par une partie et en utilisant le fait que les vecteurs sont des éléments de .

Remarque

Si les vecteurs engendrent , une sous-famille de la famille peut ne pas engendrer .

Considérons par exemple .

Soient les vecteurs et . Ils engendrent .

En effet tout élément de peut s'écrire .

En revanche, si l'on ne considère que la partie composée des éléments et , elle n'engendre pas .

Il suffit pour justifier cette affirmation de trouver un élément de qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs et : le vecteur , par exemple, n'est pas une combinaison linéaire des vecteurs et sinon il existerait deux réels et tels que entrainant, entre autre que (en regardant les troisièmes composantes).

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)