"Réduction" d'une famille génératrice
Propriété

Si les vecteurs engendrent et si l'un des vecteurs, par exemple , est combinaison linéaire des autres, alors la partie engendre .

Preuve

En effet, comme les vecteurs engendrent , pour tout élément de , il existe des scalaires tels que .

Or l'hypothèse " est combinaison linéaire des vecteurs " se traduit par l'existence de scalaires tels que .

Alors, le vecteur x s'écrit :

soit

ce qui prouve que est combinaison linéaire des vecteurs ceci achève la démonstration. Il est clair que si l'on remplace par n'importe lequel des vecteurs , la démonstration est la même.

Remarque : Remarque 1

Un vectoriel quelconque ne possède pas obligatoirement de système fini de générateurs. Par exemple l'espace vectoriel réel des fonctions polynômes sur .

Remarque : Remarque 2

Soit un vectoriel et un sous-espace vectoriel de .

Si admet un système fini de générateurs , il résulte de la définition (appliquée à l'espace vectoriel ) que les vecteurs , , sont nécessairement éléments de .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
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