Définition et exemples pour une famille d'au moins deux vecteurs

Dans ce qui précède, nous avons rencontré à plusieurs reprises des exemples de familles de vecteurs non liées. Nous allons étudier systématiquement cette situation qui va se révéler tout à fait essentielle dans la théorie des espaces vectoriels.

Repartons de la condition nécessaire et suffisante pour qu'une famille finie de vecteurs soit liée.

Soit donc un espace vectoriel sur un corps , un entier supérieur à et des vecteurs de . On a l'équivalence suivante :

Proposition

linéairement dépendants

tel que

La négation de cette propriété est :

Proposition

non linéairement dépendants

Or il est immédiat, d'après les règles de calcul dans les espaces vectoriels, que :

Donc, il est possible d'interpréter la propriété : " les vecteurs ne sont pas linéairement dépendants " de la manière suivante :

" L'équation " n'a pas d'autres solutions que la solution triviale .

Ce qui nous conduit à la définition suivante :

Définition : Définition de l'indépendance linéaire d'une famille finie de vecteurs

Soient un espace vectoriel sur un corps , n un entier supérieur ou égal à et des vecteurs de .

Les vecteurs sont dits linéairement indépendants s'ils ne sont pas linéairement dépendants, c'est-à-dire si la seule combinaison linéaire des vecteurs égale au vecteurs nul est celle (dite triviale) dont tous les coefficients sont nuls.

Complément : Vocabulaire

Un ensemble de vecteurs linéairement indépendants est aussi appelé famille libre ou partie libre de .

Exemple : Exemple 1

Soient les vecteurs de , , . Montrons que les vecteurs et sont linéairement indépendants.

Soient deux scalaires et   tels que .

Cette égalité est équivalente à l'égalité et donc au système linéaire :

qui, en remplaçant la deuxième équation par la deuxième moins deux fois la première, est équivalent au système :

dont la seule solution est et .

Les vecteurs , sont donc linéairement indépendants.

Exemple : Exemple 2

Soit le vectoriel . La famille est libre.

En effet soient deux réels et   tels que soit .

Le réel (respectivement ) est la partie réelle (respectivement imaginaire) du nombre complexe qui est supposé nul.

Donc et .

Exemple : Exemple 3

Dans le -espace vectoriel , on considère les applications et définies de la manière suivante : pour tout x réel, et .

Les applications et sont-elles linéairement indépendantes ?

Il s'agit de déterminer les scalaires et tels que (le qui figure au second membre désigne la fonction nulle).

L'égalité est équivalente à la propriété :

(le qui figure au second membre de est le de .

Pour que les scalaires et vérifient , il est nécessaire que et vérifient l'égalité

en particulier pour ce qui donne et pour ce qui donne .

On a donc :

Les applications et sont donc linéairement indépendantes.

Légende :
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