Adjonction d'un vecteur à une partie libre
Théorème : Adjonction d'un vecteur à une partie libre

Soient un vectoriel et une partie libre de . Si est un vecteur de tel que soit une partie liée de , alors le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs .

Preuve

Les vecteurs sont linéairements dépendants.

Il existe donc des scalaires non tous nuls tels que

.

Le coefficient peut-il être nul ?

Si est nul, l'égalité devient : avec au moins un des coefficients non nul ; ceci est impossible car contraire à l'hypothèse partie libre. Donc est non nul, il est donc inversible dans et on peut déduire de l'égalité l'égalité suivante :

ce qui signifie que u est combinaison linéaire des vecteurs .

Remarque

Il est intéressant de décortiquer cet énoncé : l'hypothèse " est une partie liée " implique immédiatement que l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres, et l'hypothèse " est une partie libre " permet de conclure que c'est le vecteur que l'on a rajouté " " qui est combinaison linéaire des autres.

Légende :
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