Adjonction d'un vecteur à une partie libre

ThéorèmeAdjonction d'un vecteur à une partie libre

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(\{ v_1, v_2, ... , v_n\}\) une partie libre de \(E\). Si \(u\) est un vecteur de \(E\) tel que \(\{ v_1, v_2, ... , v_n, u\}\) soit une partie liée de \(E\), alors le vecteur \(u\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\).

Preuve

Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n, u\) sont linéairements dépendants.

Il existe donc des scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n, \beta\) non tous nuls tels que

\((1) \alpha_1v_1, \alpha_2v_2, ... , \alpha_nv_n, \beta u = 0\).

Le coefficient \(\beta\) peut-il être nul ?

Si \(\beta\) est nul, l'égalité \((1)\) devient : \(\alpha_1v_1, \alpha_2v_2, ... , \alpha_nv_n = 0\) avec au moins un des coefficients non nul ; ceci est impossible car contraire à l'hypothèse \(\{ v_1, v_2, ... , v_n\}\) partie libre. Donc \(\beta\) est non nul, il est donc inversible dans \(\mathbf K\) et on peut déduire de l'égalité \((1)\) l'égalité suivante :

\(u = - \frac{\alpha_1}{\beta} v_1 - \frac{\alpha_2}{\beta}v_2 - ... - \frac{\alpha_n}{\beta}v_n\)

ce qui signifie que u est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\).

Remarque

Il est intéressant de décortiquer cet énoncé : l'hypothèse " \(\{v_1, v_2, ... , v_n, u\}\) est une partie liée " implique immédiatement que l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres, et l'hypothèse " \(\{v_1, v_2, ... , v_n\}\) est une partie libre " permet de conclure que c'est le vecteur que l'on a rajouté " \(u\) " qui est combinaison linéaire des autres.