Caractérisation des parties libres
Théorème : Théorème de caractérisation des parties libres
Soient \(E\) un espace vectoriel sur un corps \(\mathbf K\), \(n\) un entier supérieur ou égal à 1 et \(v_1, v_2, ... , v_n\) des vecteurs de \(E\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
Les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants.
La somme des sous espaces \(\mathbf{K}v_i\) est directe c'est-à-dire :
\(\mathbf{K}v_1 + \mathbf{K}v_2 + ... + \mathbf{K}v_n = \mathbf{K}v_1 \oplus \mathbf{K}v_2 \oplus ... \oplus \mathbf{K}v_n\).
Les coefficients de l'écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont uniques.
Preuve :
L'équivalence \(2. \Leftrightarrow 3.\) a déjà été vue dans le cours sur les sommes directes de sous-espace vectoriels.
Preuve de l'implication \(1. \Rightarrow 3.\) :
Soit un vecteur \(v\) combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\). Soient deux écritures de v sous une telle forme. Soit donc
\((\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf{K}^n \textrm{ tel que } \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = v\)
et
\((\beta_1, \beta_2, ... , \beta_n) \in \mathbf{K}^n \textrm{ tel que } \beta_1v_1 + \beta_2v_2 + ... + \beta_n v_n = v\)
De l'égalité \(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_n v_n = \beta_1v_1 + \beta_2v_2 + ... + \beta_n v_n\), résulte immédiatement grace aux règles de calcul dans les espaces vectoriels, l'égalité :
\((\alpha_1 - \beta_1)v_1 + (\alpha_2 - \beta_2)v_2 + ... + (\alpha_n - \beta_n)v_n = 0\)
Alors comme les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants, il vient :
\(\forall i , 1 \le i \le n, \alpha_i - \beta_i = 0\), soit \(\alpha_i = \beta_i\)
Les coefficients de l'écriture de v comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont donc uniques.
Preuve de l'implication \(3.\Rightarrow 1.\)
Soient \(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_n\) des scalaires tels que \(\lambda_1v_1, \lambda_2v_2, ... , \lambda_nv_n = 0_E\).
Comme l'on a aussi l'égalité : \(0_K v_1 + 0_Kv_2 + ... + 0_Kv_n = 0_E\), il vient :
\(\lambda_1v_1, \lambda_2v_2, ... , \lambda_nv_n = 0_K v_1 + 0_Kv_2 + ... + 0_Kv_n = 0_E\)
L'unicité des coefficients de l'écriture d'un vecteur (ici le vecteur nul) comme combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) (propriété \(3.\)) implique que :
\(\forall i, 1\leq i \leq n, \lambda_i = 0_K\)
Ce qui signifie que les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\) sont linéairement indépendants.