Caractérisation des parties libres
Théorème : Théorème de caractérisation des parties libres

Soient un espace vectoriel sur un corps , un entier supérieur ou égal à 1 et des vecteurs de . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. Les vecteurs sont linéairement indépendants.

  2. La somme des sous espaces est directe c'est-à-dire :

    .

  3. Les coefficients de l'écriture d'un vecteur comme combinaison linéaire des vecteurs sont uniques.

Preuve
  • L'équivalence   a déjà été vue dans le cours sur les sommes directes de sous-espace vectoriels.

  • Preuve de l'implication  :

    Soit un vecteur combinaison linéaire des vecteurs . Soient deux écritures de v sous une telle forme. Soit donc

    et

    De l'égalité , résulte immédiatement grace aux règles de calcul dans les espaces vectoriels, l'égalité :

    Alors comme les vecteurs sont linéairement indépendants, il vient :

    , soit

    Les coefficients de l'écriture de v comme combinaison linéaire des vecteurs sont donc uniques.

  • Preuve de l'implication

    Soient des scalaires tels que .

    Comme l'on a aussi l'égalité : , il vient :

    L'unicité des coefficients de l'écriture d'un vecteur (ici le vecteur nul) comme combinaison linéaire des vecteurs (propriété ) implique que :

    Ce qui signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants.

Légende :
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