Théorème et définition

ThéorèmeThéorème et définition

Dans un espace vectoriel de type fini \(E\), non réduit à \(\{0\}\), toutes les bases ont le même nombre d'éléments.

Ce nombre entier, taille commune de toutes les bases de \(E\), est appelé dimension de \(E\) sur \(\mathbf K\), et noté \(\mathbf{\mathrm{dim}_K}E\) (ou seulement \(\mathbf{\mathrm{dim}}E\) s'il n'y a pas ambiguïté sur le corps \(\mathbf K\))

Preuve

L'espace vectoriel \(E\) étant de type fini et non réduit à \(\{0\}\), il existe des bases de \(E\) ayant un nombre fini d'éléments.

Soient \(B = (u_1, u_2, ... , u_n)\) et \(B' = (v_1, v_2, ... , v_p)\) deux bases de \(E\).

Si \(n\) était distinct de \(p\) l'un de ces deux entiers serait strictement supérieur à l'autre, par exemple \(n > p\). Alors, d'après le lemme précédent, \(\{v_1, v_2, ... , v_p\}\) étant génératrice de \(E\), la partie \(\{u_1, u_2, ... , u_n\}\) serait liée, ce qui contredit l'hypothèse que \(B\) est une base de \(E\).

Méthode

Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel de type fini (différent de \(\{0\}\)), il suffit de trouver une partie de \(E\) à la fois libre et génératrice de \(E\), le cardinal (nombre d'éléments) de cette partie donne la dimension de \(E\).

Convention :

L'espace vectoriel \(\{0\}\) ne possède pas de base, la définition de la dimension ne peut donc pas s'appliquer ici ; on convient de lui attribuer pour dimension \(0\).

\(\mathrm{dim} \{0\} = 0\)

Vocabulaire :

Par analogie avec la géométrie :

Un espace vectoriel de dimension \(1\) est appelé droite vectorielle.

Un espace vectoriel de dimension \(2\) est appelé plan vectoriel.

Dans un espace vectoriel de dimension \(n\), \(n > 0\), un sous-espace de dimension \(n - 1\) est appelé hyperplan.

Remarque

Dans la littérature mathématique, on rencontre souvent l'expression "espace vectoriel de dimension finie" au lieu de " espace vectoriel de dimension finie".