Théorème et définition
Théorème : Théorème et définition

Dans un espace vectoriel de type fini , non réduit à , toutes les bases ont le même nombre d'éléments.

Ce nombre entier, taille commune de toutes les bases de , est appelé dimension de sur , et noté (ou seulement s'il n'y a pas ambiguïté sur le corps )

Preuve

L'espace vectoriel étant de type fini et non réduit à , il existe des bases de ayant un nombre fini d'éléments.

Soient et deux bases de .

Si était distinct de l'un de ces deux entiers serait strictement supérieur à l'autre, par exemple . Alors, d'après le lemme précédent, étant génératrice de , la partie serait liée, ce qui contredit l'hypothèse que est une base de .

Méthode

Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel de type fini (différent de ), il suffit de trouver une partie de à la fois libre et génératrice de , le cardinal (nombre d'éléments) de cette partie donne la dimension de .

Convention :

L'espace vectoriel ne possède pas de base, la définition de la dimension ne peut donc pas s'appliquer ici ; on convient de lui attribuer pour dimension .

Vocabulaire :

Par analogie avec la géométrie :

Un espace vectoriel de dimension est appelé droite vectorielle.

Un espace vectoriel de dimension est appelé plan vectoriel.

Dans un espace vectoriel de dimension , , un sous-espace de dimension est appelé hyperplan.

Remarque

Dans la littérature mathématique, on rencontre souvent l'expression "espace vectoriel de dimension finie" au lieu de " espace vectoriel de dimension finie".

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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