Sous-espaces supplémentaires de R^3
Partie
Question
On considère les sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) suivants :
\(F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3, y=z=0\}\)
\(G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3, x+z=y\}\)
Déterminer les dimensions de \(F\) et de \(G\).
Montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires.
Aide simple
Pour le 1. caractériser les éléments de \(F\) et de \(G\) à l'aide de leurs composantes, pour en déduire des parties génératrices de ces sous-espaces, puis des bases.
Pour le 2. commencer par vérifier que l'intersection de \(F\) et de \(G\) est réduite au vecteur nul.
Aide méthodologique
La détermination des dimensions de \(F\) et de \(G\) peut se faire en cherchant des bases de \(F\) et de \(G\).
Pour montrer que \(F\) et \(G\) sont supplémentaires, on peut montrer que la somme est directe, déterminer la dimension de \(F\oplus G\) et la comparer à celle de \(\mathbb R^3\).
Aide à la lecture
Dans le 2., on doit démontrer que \(\mathbb R^3=F\oplus G\).
Solution détaillée
Le vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si \(y=z=0\), donc un élément \(u\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe un réel \(x\) tel que \(u=(x,0,0)\), donc si et seulement si \(u\) est colinéaire au vecteur \(f=(1,0,0)\).
Donc \((f)\) est une base de \(F\) et \(\textrm{dim }F=1\).
Le vecteur \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(G\) si et seulement si \(x+z=y\), donc un élément \(u\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(G\) si et seulement si il existe des réels \(x\) et \(z\) tels que \(u=(x,x+z,z)\),
ce qui équivaut à \(u=x(1,1,0)+z(0,1,1)\).
Soient \(g_1=(1,1,0)\) et \(g_2=(0,1,1)\), les vecteurs \(g_1\) et \(g_2\) constituent une famille génératrice de \(G\), ils ne sont pas colinéaires donc ils déterminent une base de \(G\), d'où \(\textrm{dim }G=2\).
Soit \(u=(x,y,z)\) un élément appartenant à \(F\cap G\), donc les composantes \(x\), \(y\) et \(z\) vérifient à la fois \(y=z=0\) et \(x+z=y\), donc \(x=y=z=0\), d'où \(u=(0,0,0)\).
Donc la somme \(F+G\) est directe, d'où \(\textrm{dim }(F+G)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }G=3\).
Comme on a \(F+G\subset\mathbb R^3\) et \(\textrm{dim }(F+G)=\textrm{dim }\mathbb R^3\), on peut conclure que \(F+G=\mathbb R^3\)
et comme la somme de \(F\) et \(G\) est directe, \(F\) et \(G\) sont bien supplémentaires.