Infinité de supplémentaires d'un sous-espace

Enoncé

Soient un vectoriel de dimension , étant un corps infini (par exemple ou ),

et deux sous-espaces de supplémentaires, de dimension et de dimension (avec , ).

Soient une base de , et , une base de .

Soit un élément non nul de .

  1. Montrer que est une base de .

  2. En déduire que le sous-espace vectoriel de engendré par la famille est un supplémentaire de , distinct de .

  3. Montrer que a une infinité de supplémentaires.

Légende :
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