Dimension de sous-espaces vectoriels de R^4

Partie

Question

On considère les vecteurs de \(\mathbb R^4\) suivants :

\(\begin{array}{lll}a=(0,-2,1,0),&b=(2,-1,0,1)\\c=(4,0,-1,2),&d=(2,3,-2,1)\\u=(1,1,1,1),&v=(1,2,-3,0)\end{array}\)

et les trois sous-espaces vectoriels suivants :

\(F=\textrm{Vect }(\{a,b\})\), \(G=\textrm{Vect }(\{c,d\})\), \(H=\textrm{Vect }(\{u,v\})\)

  1. Montrer que \(F\) et \(G\) sont égaux.

  2. Les sous-espaces \(F\) et \(H\) sont-ils égaux ?

  3. Quelle est la dimension de \(F+H\) ?

    Les sous-espaces \(F\) et \(H\) sont-ils supplémentaires ?

    En déduire la dimension de\( F\cap H\).

Aide détaillée

Pour montrer qu'un sous-espace \(A\) est contenu ou non dans un sous-espace \(B\), il suffit de vérifier qu'une partie génératrice de \(A\) est contenue ou non dans \(B\).

Pour déterminer la dimension de \(F+H\), étudier la dépendance linéaire de la famille de vecteurs \(\{a,b,u,v\}\) ; s'ils sont dépendants en extraire une partie libre maximale.

Aide méthodologique

Pour montrer que deux sous-espaces sont égaux, on peut montrer une inclusion et comparer les dimensions.

Pour déterminer la dimension de \(F+H\), remarquer que la réunion des parties génératrices de \(F\) et de \(H\) est une partie génératrice de \(F+H\) ; pour la dimension de \(F\cap H\), il suffit d'appliquer la relation qui lie les dimensions des différents sous-espaces considérés.

Aide à la lecture

Il s'agit de considérer trois sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^4\) engendrés chacun par deux vecteurs non colinéaires.

Solution détaillée
  1. On vérifie que \(G\) est contenu dans \(F\), pour cela il suffit de vérifier que \(c\) et \(d\) sont dans \(F\) puisque \(G\) est le plus petit sous-espace vectoriel contenant \(c\) et \(d\) (on peut dire aussi que tout autre élément de \(G\) est une combinaison linéaire de \(c\) et \(d\) donc appartient à tout sous-espace vectoriel contenant \(c\) et \(d\)).

    Le vecteur \(c=(4,0,-1,2)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(c=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((4,0,-1,2)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\), ce qui équivaut à \((4,0,-1,2)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

    \(\alpha=-1\) et \(\beta=2\) vérifient bien cette égalité donc \(c\) appartient à \(F\).

    Le vecteur \(d=(2,3,-2,1)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(d=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((2,3,-2,1)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\),

    ce qui équivaut à \((2,3,-2,1)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

    \(\alpha=-2\) et \(\beta=1\) vérifient bien cette égalité donc \(c\) appartient à \(F\).

    Donc \(G\) est bien contenu dans \(F\).

    On étudie les dimensions de \(F\) et de \(G\).

    Les vecteurs \(a\) et \(b\) sont non colinéaires, donc \((a,b)\) est une base de \(F\) ; de même \((c,d)\) est une base de \(G\), ceci prouve que \(F\) et \(G\) ont la même dimension (égale à \(2\)), donc d'après le résultat suivant : "deux sous-espaces sont égaux si et seulement si l'un est contenu dans l'autre et leurs dimensions sont égales", on peut conclure que \(F\) et \(G\) sont égaux.

  2. De même \(H\) est de dimension \(2\), il suffit donc de vérifier si \(H\) est contenu ou non dans \(F\) pour savoir si \(F\) et \(H\) sont égaux.

    Le vecteur \(u=(1,1,1,1)\) appartient à \(F\) si et seulement si il existe deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(u=\alpha a+\beta b\), c'est-à-dire \((1,1,1,1)=\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)\), ce qui équivaut à \((1,1,1,1)=(2\beta,-2\alpha-\beta,\alpha,\beta)\).

    L'égalité des premières et dernières composantes entraîne \(2\beta=1\) et \(\beta=1\), ce qui est impossible, donc \(u\) n'appartient pas à \(F\).

    Les sous-espaces \(F\) et \(H\) ne sont pas égaux.

  3. D'après le cours, la réunion d'une partie génératrice de \(F\) et d'une partie génératrice de \(H\) est une partie génératrice de \(F+H\), \(F+H\) admet donc \(\{a,b,u,v\}\) comme partie génératrice. On cherche si cette partie est libre.

    Chercher les quadruplets \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) de \(\mathbb R^4\) qui vérifient l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\), revient à résoudre un système \((S)\).

    Résolution de \((S)\) :

    Soient \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\) quatre réels vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\), c'est-à-dire

    \(\alpha(0,-2,1,0)+\beta(2,-1,0,1)+\gamma(1,1,1,1)+\delta(1,2,-3,0)=0\)

    soit \((2\beta+\gamma+\delta,-2\alpha-\beta+\gamma+2\delta,\alpha+\gamma-3\delta,\beta+\gamma)=(0,0,0,0)\)

    Le quadruplet \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) est solution du système \((S)\) suivant :

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcl}&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0\\-2\alpha&-&\beta&+&\gamma&+&2\delta&=&0\\\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0\end{array}\right.\)

    équivalent à

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&L_1\leftarrow L_3\\-2\alpha&-&\beta&+&\gamma&+&2\delta&=&0&\\&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0&L_3\leftarrow L_1\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0&\end{array}\right.\)

    équivalent à

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&-&4\delta&=&0&L_2\leftarrow L_2+2L_1\\&&2\beta&+&\gamma&+&\delta&=&0&\\&&\beta&+&\gamma&&&=&0&\end{array}\right.\)

    équivalent à

    \(\left\{\begin{array}{rcrcrcrcll}\alpha&&&+&\gamma&-&3\delta&=&0&\\&-&\beta&+&3\gamma&-&4\delta&=&0&\\&&&&7\gamma&-&7\delta&=&0&L_3\leftarrow L_3+2L_2\\&&&&4\gamma&-&4\delta&=&0&L_4\leftarrow L_4+L_2\end{array}\right.\)

    D'où : \(\gamma=\delta\), \(\beta=-\delta\) et \(\alpha=2\delta\).

    L'ensemble des solutions du système \((S)\) est l'ensemble des quadruplets \((2\delta,-\delta,\delta,\delta)\).

    Les quadruplets \((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\) de \(\mathbb R^4\) qui vérifient l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\) sont ceux qui vérifient les conditions \(\alpha=2\delta\), \(\beta=-\delta\) et \(\gamma=\delta\).

    En particulier pour \(\delta=1\), on a la relation : \(2a-b+u+v=0\) ; la partie \(\{a,b,u,v\}\) n'est pas libre.

    Il est immédiat de vérifier que la partie \(\{a,b,u\}\) est libre, en effet, chercher trois réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u=0\) revient à chercher quatre réels \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) et \(\delta\), avec \(\delta=0\), vérifiant l'égalité \(\alpha a+\beta b+\gamma u+\delta v=0\).

    L'étude précédente montre que si \(\delta=0\), cela entraîne \(\alpha=\beta=\gamma=0\).

    La partie \(\{a,b,u\}\) est donc une partie libre maximale extraite de la partie génératrice \(\{a,b,u,v\}\) de \(F+H\), donc \((a,b,u)\) est une base de \(F+H\), ainsi \(\textrm{dim }(F+H)=3\).

    Puisque la dimension de \(\mathbb R^4\) est \(4\), le sous-espace \(F+H\) n'est pas égal à \(\mathbb R^4\), donc \(F\) et \(H\) ne sont pas des sous-espaces supplémentaires.

    De plus la relation \(\textrm{dim }(F+H)=\textrm{dim }F+\textrm{dim }H-\textrm{dim }(F\cap H)\) entraîne : \(\textrm{dim }(F\cap H)=1\).