Définition
Définition :
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels; une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) est appelée application linéaire si elle satisfait aux deux conditions suivantes :
Pour tous vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\), \(f(u+v) = f(u) + f(v)\)
Pour tout vecteur \(u\) de \(E\) et pour tout scalaire \(\lambda\) de \(\mathbf K\), \(f(\lambda u) = \lambda f(u)\).
Autrement dit : une application est linéaire si elle " respecte " les deux lois d'un espace vectoriel.
Notation
L'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\) est noté \(L (E , F)\) ou \(L_\mathbf K(E,F)\).
Conséquence de la définition
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels; si f est une application linéaire de \(E\) dans \(F\) alors \(f(0_E) = 0_F\) et, pour tout vecteur \(u\) de \(E\), \(f(-u) = - f(u)\).
Preuve :
Il suffit d'appliquer la propriété (2) de linéarité avec \(\lambda = 0_\mathbf K\) puis avec \(\lambda = -1\).Soit u un vecteur de \(E\),
\(0_\mathbf{K} = 0_E\) et \(f(0_E) = f(0_\mathbf{K}u) = 0_\mathbf{K}f(u) = 0_F\)
\(-u = (-1u )\) d'où \(f(-u) = (-1) f(u) = -f(u)\)
Remarque :
La nécessité que \(E\) et \(F\) soient des espaces vectoriels sur le même corps \(\mathbf K\) apparaît clairement dans ces calculs.
Méthode :
Soit \(f\) une application d'un espace vectoriel \(E\) dans un espace vectoriel \(F\). Lorsqu'on cherche à répondre à la question suivante : " \(f\) est-elle linéaire ? ", on peut rapidement déterminer \(f(0_E)\) :
si \(f(0_E) \ne 0_F\), alors on peut conclure que \(f\) n'est pas linéaire,
si \(f(0_E) = 0_F\), on ne peut rien conclure et il faut alors vérifier que f satisfait à chacune des deux propriétés de linéarité.