Caractérisation d'une application linéaire

Pour démontrer qu'une application est linéaire, on peut aussi utiliser une propriété plus "concentrée" donnée par la caractérisation suivante :

Caractérisation d'une application linéaire

Soient et deux vectoriels et une application de dans ; l'application f est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs et de et pour tous scalaires et de ,

Preuve

Soient une application linéaire de dans , et deux vecteurs de , et deux éléments de .

Réciproque

Soit une application de dans telle que, pour tous vecteurs et de et pour tous scalaires et de , (3) alors,

  • pour tous vecteurs et de ,

    (égalité (3) dans le cas particulier où ),

  • pour tout vecteur de et pour tout scalaire de ,

    (égalité (3) dans le cas particulier où ).

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