Image d'une combinaison linéaire

Soient et deux vectoriels et une application linéaire de dans , alors

Cette proposition se démontre par récurrence sur .

Démonstration

Soient un entier naturel non nul et la propriété suivante :

  1. est linéaire donc : . est donc vraie.

  2. On suppose que est vraie pour un entier naturel n non nul.

    Soient car est linéaire.

    D'où, d'après l'hypothèse de récurrence,

    Si est vraie, alors est vraie.

  3. D'après le théorème de récurrence, est vraie pour tout entier non nul.

Légende :
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