Espace vectoriel L(E,F)
Rappel

Soient et deux vectoriels.

L'ensemble des applications de dans , noté , est muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe définies de la façon suivante :

étant deux éléments de , et étant un élément de , pour tout vecteur de ,

et

étant un vectoriel, l'ensemble des applications de dans , noté est un vectoriel.

Théorème : Structure de L(E, F)

Soient et deux vectoriels, l'ensemble des applications linéaires de dans , noté , muni des deux lois définies précédemment, est un vectoriel.

Preuve

L'ensemble est inclus dans l'ensemble .

Pour montrer que est un vectoriel, il suffit donc de montrer que est un sous-espace vectoriel de  :

L'application nulle appartient à , donc est non vide.

Soient deux éléments de , et un élément de . Pour tous vecteurs et de et pour tous scalaires , de ,

est donc linéaire et est stable pour l'addition.

est donc linéaire et est stable pour la loi externe.

est donc un sous-espace vectoriel de .

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