| Espace vectoriel L(E,F) |
Soient
et
deux
vectoriels.
L'ensemble des applications de
dans
, noté
, est muni d'une loi de composition interne + et d'une loi de composition externe définies de la façon suivante :
étant deux éléments de
, et
étant un élément de
, pour tout vecteur
de
,
et
étant un
vectoriel, l'ensemble des applications de
dans
, noté
est un
vectoriel.
Soient
et
deux
vectoriels, l'ensemble des applications linéaires de
dans
, noté
, muni des deux lois définies précédemment, est un
vectoriel.
L'ensemble
est inclus dans l'ensemble
.
Pour montrer que
est un
vectoriel, il suffit donc de montrer que
est un sous-espace vectoriel de
:
L'application nulle appartient à
, donc
est non vide.
Soient
deux éléments de
, et
un élément de
. Pour tous vecteurs
et
de
et pour tous scalaires
,
de
,
est donc linéaire et
est stable pour l'addition.
est donc linéaire et
est stable pour la loi externe.
est donc un sous-espace vectoriel de
.
