Cas où E=F - Structure de L(E)

Les propriétés de étudiées dans le cas général sont évidemment encore vraies lorsque , mais la structure de est beaucoup plus riche du fait des propriétés de la composition des endomorphismes.

Propriété : 1) Espace vectoriel L(E)

et étant deux vectoriels, l'ensemble des applications linéaires de dans , noté , muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est un vectoriel. Dans le cas particulier où , l'ensemble est l'ensemble des applications linéaires de dans , c'est-à-dire l'ensemble des endomorphismes de , noté .

L'ensemble muni de l'addition et de la multiplication par un scalaire est donc un vectoriel.

Propriété : 2) La loi ° est une loi de composition interne dans L(E)

Soient trois vectoriels.

Si est une application linéaire de dans et une application linéaire de dans , alors l'application est une application linéaire de dans . Donc, si et sont deux endomorphismes de , on peut définir les deux applications et et ce sont des endomorphismes de .

L'ensemble est donc muni d'une deuxième loi de composition interne, la loi .

D'après les propriétés de la composition des applications linéaires vues au paragraphe précédent, la loi possède dans les propriétés 3 et 4 suivantes.

Propriété : 3) La loi ° est distributive par rapport à l'addition

C'est-à-dire

Propriété : 4) La loi ° vérifie :

D'après les propriétés de la composition des applications, on a aussi les propriétés suivantes :

Propriété : 5) La loi ° est associative dans L(E)

 

Propriété : 6) L'application identique, noté , est élément neutre pour la loi °

C'est-à-dire

Les propriétés 1-2-3-4-5-6 permettent de dire que l'ensemble , muni de l'addition, de la multiplication par un scalaire et de la composition des applications, a une structure d'algèbre unitaire sur .

Attention

la loi ° n'est pas en général commutative dans .

Exemple

soient et les endomorphismes de définis par

et ,

alors et .

Complément : Notation

est noté . On définit de même par récurrence , pour n entier naturel non nul.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)