Composition de deux applications linéaires
Proposition : composée de deux applications linéaires

Soient trois vectoriels, une application linéaire de dans et une application linéaire de dans , alors est une application linéaire de dans .

Autrement dit, la composée de deux applications linéaires est linéaire.

Preuve

Soient et deux vecteurs de , et deux éléments de ,

Attention

Si les espaces vectoriels et sont distincts, on ne peut pas définir l'application

Proposition : Propriétés de la composition d'applications linéaires

Soient trois vectoriels.

Preuve : Preuve de 1

Pour tout vecteur de ,

La dernière égalité utilise la linéarité de . Les autres égalités se déduisent de la définition de la loi et de la loi .

Remarque

Cette démonstration utilise la linéarité de , mais pas celles de et .

Preuve : Preuve de 2

Pour tout vecteur de ,

Ces égalités se déduisent de la définition de la loi et de la loi .

Remarque

Cette démonstration n'utilise pas de linéarité.

Preuve : Preuve de 3

La formule n'utilise pas de linéarité.

La formule utilise la linéarité de .

Démonstration

Pour tout vecteur de ,

.

Ces égalités se déduisent de la définition de la loi et de la multiplication d'une application par un scalaire.

(la dernière égalité utilise la linéarité de ),

d'où .

Proposition : Linéarité de l'application réciproque d'un isomorphisme

Soient et deux vectoriels, si est un isomorphisme de sur , alors est un isomorphisme de sur .

Preuve

étant une application bijective de sur , est une application bijective de sur . Il reste donc à prouver que est bien linéaire.

Soient et deux vecteurs de , et deux éléments de , on pose

et on a alors et .

car

( désigne l'application identique de dans :

donc

est donc linéaire

Complément : Vocabulaire

La proposition précédente prouve donc que s'il existe un isomorphisme de sur , alors il existe aussi un isomorphisme de sur .

Les deux espaces vectoriels et sont dits isomorphes.

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