Exemples d'endomorphismes : homothétie, projection
Homothétie

Soient un , et un élément de . On définit l'application par :

est linéaire. En effet, soit et deux vecteurs de , et deux scalaires de .

Si , est appelée l'application nulle de .

Si , est appelée homothétie de rapport k et si , est l'application identique de .

Si , est une bijection de sur (tout élément de admet un antécédent unique ) donc c'est un automorphisme de .

Pour tout réel non nul, l'homothétie de rapport k commute avec tout endomorphisme de , c'est-à-dire, pour tout endomorphisme de , .

En effet, pour tout vecteur de , (la deuxième égalité est vraie car est linéaire).

Projection

Soient un et et deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans .

Tout vecteur de s'écrit de façon unique avec v élément de et élément de .

L'unicité de la décomposition précédente permet de définir l'application de dans telle que .

est appelée projection sur parallèlement à .

C'est une application linéaire.

En effet, soient deux vecteurs et de , et deux scalaires de , le vecteur u s'écrit de façon unique avec élément de et élément de et, par définition de , .

Le vecteur s'écrit de façon unique avec v' élément de et élément de et, par définition de , .

est un sous-espace vectoriel de , il est donc stable par combinaison linéaire et donc le vecteur appartient à .

De même le vecteur appartient à et, d'après la définition de ,

.

Une projection vérifie l'égalité . En effet, soit la projection sur parallèlement à , tout vecteur de s'écrit de façon unique avec v élément de et élément de , on a alors et car avec élément de et 0 élément de .

Ainsi .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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