Application linéaire

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et k un élément de \(\mathbf K\). L'application \(f_k\), définie par :

\(\left[\begin{array}{rcl}f_k : E &\to& E\\ u &\mapsto& k u\end{array}\right.\)

est linéaire.

Si \(k = 0\), \(f_k\) est l'application nulle de \(E\), donc \(\mathrm{Im}(f_0) = \{0\}\) et \(\mathrm{Ker}(f_0) = E\).

Si \(k \ne 0\), \(f_k\) est une bijection, alors \(\mathrm{Im}(f_k) = E\), et le seul élément de \(E\) ayant pour image 0 est 0, donc \(\mathrm{Ker}(f_k) = \{0\}\).

Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), supplémentaires, et \(p\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\) :

si le vecteur \(u\) de \(E\) s'écrit d'une manière unique \(u = u_F + u_G\) avec \(u_F\) élément de \(F\) et \(u_G\) élément de\( G\), alors \(p(u) = u_F\)

Le noyau de \(p\) est l'ensemble des vecteurs \(u\) de \(E\), tels que \(u_F = 0\), c'est donc \(G\), alors que l'image de \(p\) est \(F\), en effet il est immédiat que l'image de \(p\) est contenue dans \(F\), mais réciproquement tout élément de \(F\) est sa propre image.

\(\mathrm{Ker}(p) = G\) et \(\mathrm{Im}(p) = F\)

Soit \(f\) l'application de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^3\) définie par :

\(\left[\begin{array}{rcll}f :&\mathbb R^2&\to& \mathbb R^3\\ &(x,y) &\mapsto& (x,x,-x)\end{array}\right.\)

On montre facilement que\( f\) est linéaire.

L'image de \(f\) est l'ensemble de tous les triplets \((x,x,-x)\), \(x \in \mathbb R\), c'est donc le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\), engendré par le vecteur \((1,1,-1)\).

\(\mathrm{Im}(f) = \mathrm{Vect}\{ (1,1,-1)\}\)

Le noyau de f est l'ensemble des couples \((0,y)\), \(y \in \mathbb R\), c'est donc le sous-espace de \(\mathbb R^2\), engendré par le vecteur \((0,1)\) :

\(\mathrm{Kerf}(f) = \mathrm{Vect}\{(0,1)\}\)