Exemples

Les exemples 1 et 2 se réfèrent à la ressource " Applications linéaires, Définition et propriétés ".

Exemple : Exemple 1

Soient un vectoriel, et k un élément de . L'application , définie par :

est linéaire.

Si , est l'application nulle de , donc et .

Si , est une bijection, alors , et le seul élément de ayant pour image 0 est 0, donc .

Exemple : Exemple 2

Soient un vectoriel, et deux sous-espaces vectoriels de , supplémentaires, et la projection sur parallèlement à :

si le vecteur de s'écrit d'une manière unique avec élément de et élément de , alors

Le noyau de est l'ensemble des vecteurs de , tels que , c'est donc , alors que l'image de est , en effet il est immédiat que l'image de est contenue dans , mais réciproquement tout élément de est sa propre image.

et

Exemple : Exemple 3

Soit l'application de dans définie par :

On montre facilement que est linéaire.

L'image de est l'ensemble de tous les triplets , , c'est donc le sous-espace vectoriel de , engendré par le vecteur .

Le noyau de f est l'ensemble des couples , , c'est donc le sous-espace de , engendré par le vecteur  :

Légende :
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S'exercer
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