Caractérisation
Caractérisation des applications linéaires injectives et surjectives

Soit une application linéaire du vectoriel dans le vectoriel ,

  • l'application est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace .

  • l'application est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.

Preuve
  1. La première propriété traduit seulement la propriété de la surjection :

    La linéarité de n'intervient pas.

  2. En revanche la deuxième propriété est une conséquence de la linéarité de .

    • , étant un sous-espace vectoriel de , contient l'élément nul  .

    • On montre :

      Soit un élément de , alors donc (propriété des applications linéaires).

      Comme est injective, cela entraîne que , donc .

    • On montre

      Soient et deux vecteurs distincts de , alors ,

      donc ,

      donc ,

      or , car est linéaire,

      donc . Ceci prouve que est injective.

Légende :
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S'exercer
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