Caractérisation

Caractérisation des applications linéaires injectives et surjectives

Soit \(f\) une application linéaire du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans le \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\),

  • l'application \(f\) est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace \(F\).

  • l'application \(f\) est injective si et seulement si son noyau ne contient que le vecteur nul.

    \(f\textrm{ surjective }\Leftrightarrow \mathrm{Im}(f) = F\)

    \(f\textrm{ injective }\Leftrightarrow \mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}\)

Preuve

  1. La première propriété traduit seulement la propriété de la surjection :

    \(f\textrm{ surjective }\Leftrightarrow f(E) = F\)

    La linéarité de \(f\) n'intervient pas.

  2. En revanche la deuxième propriété est une conséquence de la linéarité de \(f\).

    • \(\mathrm{Ker}(f)\), étant un sous-espace vectoriel de \(E\), contient l'élément nul  \(0_E\).

    • On montre : \(f\textrm{ injective }\Rightarrow \mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}\)

      Soit \(x\) un élément de \(\mathrm{Ker}(f)\), alors \(f(x) = 0_F\) donc \(f(x) = f(0_E)\) (propriété des applications linéaires).

      Comme \(f\) est injective, cela entraîne que \(x = 0_E\), donc \(\mathrm{Ker}(f) = \{0_E\}\).

    • On montre \(\mathrm{Ker}(f) = \{0_E\} \Rightarrow f\textrm{ injective}\)

      Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs distincts de\( E\), alors \(x - y \ne 0_E\),

      donc \(x - y \notin \mathrm{Ker}(f)\),

      donc \(f(x - y) \ne 0_F\),

      or \(f(x - y) =f(x) - f(y)\), car \(f\) est linéaire,

      donc \(f(x) \ne f(y)\). Ceci prouve que \(f\) est injective.