Application linéaire

On peut montrer par exemple que \(f\) ne vérifie pas la propriété :

\(\forall(u,v)\in\mathbb K\times E^2,f(u+v)=f(u)+f(v)\)

en donnant un contre-exemple.

Soit une application \(f\) d'un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) dans un \(\mathbb K\textrm{-espace}\) vectoriel \(F\).

Pour démontrer que \(f\) est linéaire, on peut vérifier que :

\(\forall(u,v)\in E^2,f(u+v)=f(u)+f(v)\) et \(\forall(\alpha,u)\in\mathbb K\times E,f(\alpha u)=\alpha f(u)\)

ou bien que \(\forall(u,v)\in E^2,\forall(\alpha,\beta)\in\mathbb K^2,f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v).\)

Pour démontrer que \(f\) n'est pas linéaire on peut :

• ou bien montrer que \(f(0_E)\neq0_F\)

• ou bien trouver deux vecteurs de \(E\), \(u\) et \(v\) tels que \(f(u+v)\neq f(u)+f(v)\)

• ou bien trouver un vecteur \(u\) de \(E\), et un scalaire \(\alpha\) tels que \(f(\alpha u)\neq\alpha f(u)\)

L'application \(f\) associe au couple \((x,y)\) le plus grand des deux réels \(x, y\).

L'espace d'arrivée est \(\mathbb R\), considéré comme espace vectoriel sur lui-même.