Détermination du noyau et de l'image d'une application linéaire de R^3 dans R^4
Partie
Question
Soient \(a\) un réel et \(f_a\) l'application linéaire de \(\mathbb R^3\) dans \(\mathbb R^4\) définie par :
\(\begin{array}{lccll}f_a :&\mathbb R^3&\rightarrow&\mathbb R^4\\&(x_1,x_2,x_3)&\mapsto&(3x_1+x_2+x_3,x_1+x_2,-4x_1+4x_2-4x_3,6x_1+4x_2+ax_3)\end{array}\)
Déterminer suivant les valeurs du réel \(a\) le noyau de \(f_a\).
Déterminer suivant les valeurs du réel \(a\) l'image de \(f_a\).
Aide simple
Pour la recherche du noyau, traduire les conditions sous forme de système et utiliser le pivot de Gauss pour résoudre ce système. Discuter suivant les valeurs du paramètre \(a\).
Aide méthodologique
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels et \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\).
Déterminer le noyau de \(f\) revient à chercher tous les vecteurs de \(E\) dont l'image est égale au vecteur nul de \(F\).
Pour déterminer l'image de \(f\), lorsque l'espace de départ \(E\) est de type fini, on peut utiliser le résultat suivant : " l'image de \(f\) est le sous-espace vectoriel de \(F\) engendré par l'image d'une base de \(E\) ".
De plus, si on connaît la dimension du noyau de \(f\), le théorème du rang permet d'obtenir la dimension de l'image de \(f\).
Aide à la lecture
L'application \(f\) est une application de \(\mathbb R^3\) dans \(\mathbb R^4\).
Elle associe à tout triplet de \(\mathbb R^3\) un quadruplet de \(\mathbb R^4\).
Solution détaillée
Soit \((x_1,x_2,x_3)\) un élément de \(\mathbb R^3\).
\((x_1,x_2,x_3)\in \textrm{Ker}f_a \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcl}3x_1&+&x_2&+&x_3&=&0\\x_1&+&x_2&&&=&0\\-4x_1&+&4x_2&-&4x_3&=&0\\6x_1&+&4x_2&+&ax_3&=&0\end{array}\right.\)
On résout le système \((S)\) obtenu par la méthode du pivot de Gauss.
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcll}x_1&+&x_2&&&=&0&L_1\leftrightarrow L_2\\3x_1&+&x_2&+&x_3&=&0&\\-x_1&+&x_2&-&x_3&=&0&L_3\leftarrow\displaystyle{\frac{1}{4}L_3}\\6x_1&+&4x_2&+&ax_3&=&0&\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcll}x_1&+&x_2&&&=&0&\\&-&2x_2&+&x_3&=&0&L_2\leftarrow L_2-3L_1\\&&2x_2&-&x_3&=&0&L_3\leftarrow L_3+L_1\\&-&2x_2&+&ax_3&=&0&L_4\leftarrow L_4-6L_1\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcll}x_1&+&x_2&&&=&0&\\&-&2x_2&+&x_3&=&0&\\&&&&(a-1)x_3&=&0&L_4\leftarrow L_4-L_2\end{array}\right.\)
Deux cas se présentent : \(a=1\) et \(a\neq 1\).
Si \(a\neq1\), \((S)\Leftrightarrow x_1=x_2=x_3=0\). Donc si \(a\neq 1, \textrm{Ker}f_a=\{0\}\).
Si \(a=1\),\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcr}x_1&=&-x_2\\x_3&=&2x_2\end{array}\right.\).
Donc si \(a=1\), le noyau de \(f_1\) est l'ensemble des triplets \((\alpha,-\alpha,-2\alpha)\), appartenant à \(R\).
C'est donc le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) engendré par le vecteur \((1,-1,-2)\).
Soit \((e_1,e_2,e_3)\) la base canonique de \(\mathbb R^3\). L'image de \(f_a\) est le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs \(f_a(e_1),f_a(e_2),f_a(e_3)\).
Connaissant la dimension du noyau de \(f_a\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \(f_a\). Ce théorème permet en effet d'écrire :
\(\dim\mathbb R^3=\dim\textrm{Ker}f_a+\dim\textrm{Im}f_a\)
Si \(a\neq1\), \(\textrm{Ker}f_a=\{0\}\) d'où \(\textrm{Im}f_a\) a pour dimension \(3\).
Une famille génératrice de trois vecteurs de \(\textrm{Im}f_a\) est donc une base de \(\textrm{Im}f_a\).
\((f_a(e_1,f_a(e_2),f_a(e_3))\) est donc une base de \(\textrm{Im}f_a\).
\(f_a(e_1)=(3,1,-4,6)\)
\(f_a(e_2)=(1,1,4,4)\)
\(f_a(e_3)=(1,0,-4,a)\)
Si \(a=1\), la dimension de \(\textrm{Ker}f_1\) est égale à \(1\), donc la dimension de \(\textrm{Im}f_1\) est égale à \(2\).
\(f_a(e_1)=(3,1,-4,6)\)
\(f_a(e_2)=(1,1,4,4)\)
\(f_a(e_3)=(1,0,-4,1)\)
Les deux premiers vecteurs \(f_1(e_1),f_1(e_2)\) sont deux vecteurs linéairement indépendants de \(\textrm{Im}f_1\) (leurs composantes ne sont pas proportionnelles).
Ils forment donc une base de \(\textrm{Im}f_1\).