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Application linéaire de carré nul
Question n°1

Soient un vectoriel et un endomorphisme de (c'est-à-dire une application linéaire de dans ).

Démontrer l'équivalence entre les propositions et suivantes :

(On rappelle que et que désigne l'endomorphisme nul).

Question n°2

Soient un vectoriel de dimension et un endomorphisme non nul de tel que .

  • Déterminer la dimension de .

Question n°3

Soient un vectoriel de dimension et un endomorphisme non nul de tel que .

  • En déduire l'existence d'une base de telle que

    ( désigne ici le vecteur nul de ).

Question n°4

Soient un entier, un vectoriel de dimension et un endomorphisme de vérifiant les deux conditions suivantes :

il existe une famille de vecteurs telle que la famille soit libre

  • Démontrer l'égalité : .

Question n°5

Soient un entier, un vectoriel de dimension et un endomorphisme de vérifiant les deux conditions suivantes :

il existe une famille de vecteurs telle que la famille soit libre

  • Montrer que l'on a : .

Question n°6

Soient un entier, un vectoriel de dimension , et soit une base de .

Construire un endomorphisme de tel que .

Question n°7

On considère l'endomorphisme de défini par :

  1. Déterminer une base de .

  2. Montrer que .

  3. Montrer que vérifie les conditions et de la partie , en explicitant la famille .

  4. Déterminer les endomorphismes pour tout entier supérieur ou égal à .

Question n°8

On considère l'endomorphisme de défini par :

On note l'endomorphisme désigne l'application identique de .

  1. Montrer que est un automorphisme de .

  2. Donner une expression simple de et en déduire , pour tout entier supérieur ou égal à .

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