Mathématiques
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Application linéaire et construction de base
Question n°1

Soit un espace vectoriel réel.

Soient et deux endomorphismes non nuls de tels que :

et

  • Montrer que .

Question n°2

Soit un espace vectoriel réel.

Soient et deux endomorphismes non nuls de tels que :

et

  • Montrer que .

On suppose dans la suite du problème que est un espace vectoriel de dimension finie

Question n°3

Soit un endomorphisme de .

On suppose qu'il existe deux réels et tels que :

et

désigne l'endomorphisme nul

  • Montrer que les sous-espaces vectoriels et sont supplémentaires.

Question n°4

Soit un endomorphisme de .

On suppose qu'il existe deux réels et tels que :

et

désigne l'endomorphisme nul

  • Montrer qu'il existe une base de et un entier compris entre et tels que :

Question n°5

Soit un endomorphisme de tel que .

Montrer qu'il existe une base de et des scalaires tels que pour tout entier compris entre et on ait : .

Question n°6

Soit l'endomorphisme de défini par .

  • Montrer que vérifie la relation .

Question n°7

Soit l'endomorphisme de défini par .

  • Expliciter une base vérifiant les conditions de la question .

Question n°8

Soit l'endomorphisme de défini par .

  • Calculer l'image du vecteur par l'endomorphisme .

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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