Matrice associée à une forme bilinéaire symétrique sur un espace de type fini

Soit un espace vectoriel de type fini, et sa dimension. Soit une base de et une forme bilinéaire symétrique sur

Si et sont deux éléments de on a vu que et que la matrice associée à dans la base est la matrice de terme général

Or, est symétrique si et seulement si ,

propriété qui équivaut à :

D'où la proposition.

Proposition : Caractérisation de la matrice associée dans une base à une forme bilinéaire symétrique

Soit un espace de type fini.

  • Quelle que soit la base choisie, la matrice associée à une forme bilinéaire symétrique est une matrice symétrique.

  • Si il existe une base telle que la matrice associée à une forme bilinéaire dans cette base soit symétrique alors est une forme bilinéaire symétrique.

Exemple

1. Soit et la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout et de par

Ci-après une version animée de cette étape

Alors la matrice associée à dans la base canonique de est une matrice de type à coefficients réels égale à :

2. Soit et la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout et de par

Alors la matrice associée à dans la base canonique de est la matrice unité

Problème réciproque :

Soit un espace vectoriel de type finis, sa dimension et une base de Il est clair que la donnée d'une matrice symétrique

à coefficients dans permet de construire une forme bilinéaire symétrique sur Il suffit de définir, pour tout et compris entre 1 et par Elle est bien symétrique puisque pour tout et compris entre 1 et

Cela nous conduit au théorème suivant

Théorème : isomorphisme entre Msym,n(K) et S2(E)

Soit un vectoriel de type fini, sa dimension. Alors l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur est isomorphe à l'espace vectoriel des matrices carrées symétriques d'ordre à coefficients dans

Preuve

Ce qui précède prouve l'existence d'une bijection entre ces deux espaces. Il est simple de vérifier que c'est bien une application linéaire.

Attention, cet isomorphisme n'est pas canonique puisqu'il dépend de la base choisie sur

Construction de formes bilinéaires symétriques

On a même un résultat plus fort puisque cela donne un procédé de construction de forme bilinéaire symétrique à partir d'une matrice symétrique.

Soit une matrice symétrique à coefficients dans

On peut construire un espace vectoriel une base de et une forme bilinéaire symétrique telle que soit la matrice associée à dans

Pour cela on prend , la base canonique de et on définit par

Exemple

Soit la matrice

C'est une matrice symétrique.

Ci-après une version animée de cette étape

Alors l'application de dans définie pour tout et tout par est une forme bilinéaire symétrique sur admettant comme matrice associée dans la base canonique.

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
Réalisé avec Scenari (nouvelle fenêtre)