Expression matricielle d'une forme bilinéaire symétrique
En appliquant le résultat général vu pour les formes bilinéaires au cas des formes bilinéaires symétriques, et en utilisant toujours la même convention (la matrice scalaire \((\alpha)\) est identifiée au scalaire \(\alpha\)), il vient : \(f(x,y) = ~^{t}XAY\) avec \(A\) symétrique.
où \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + . . . + x_{n}e_{n} ,y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + . . . + y_{n}e_{n},\) et \(X = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} x_{1} \\ \vdots \\ \\ x_{n}\end{array}\right)},\) \(Y = \displaystyle{\left(\begin{array}{cc} y_{1} \\ \vdots \\ \\ y_{n}\end{array}\right)}\)
Remarque :
Comme \(~^{t}XAY\) est une matrice de type \(1 \times 1\), elle est égale à sa transposée et donc \(~^{t}XAY = ~^{t}Y^{t}AX.\) Mais comme \(A\) est symétrique, \(~^{t}A = A\) et par conséquent on a aussi la formule : \(f(x,y) = ~^{t}YAX\)
Cela pouvait aussi être justifié en utilisant la symétrie de \(f.\)
Changement de base
La formule de changement de base, vue pour une forme bilinéaire quelconque, est évidemment encore valable si la forme est symétrique.
On peut d'ailleurs observer directement que si \(A\) est une matrice symétrique, la matrice \(~^{t}PAP\) est aussi symétrique.