Définition d'une forme bilinéaire symétrique
Définition : Forme bilinéaire symétrique sur Rn
Une forme bilinéaire sur\( \mathbb{R}^{n}\) \(f\)est une application de \(\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}\), linéaire par rapport à chacune des variables autrement dit :
pour \(x\) fixé dans \(\mathbb{R}^{n}\) l'application\( y \mapsto f(x,y)\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}.\)
pour \(y\) fixé dans \(\mathbb{R}^{n}\), l'application \(x \mapsto f(x,y)\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}^{n}\) dans \(\mathbb{R}.\)
Une forme bilinéaire est dite symétrique si :
\(\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}, f(x,y) = f(y,x)\)
Exemple :
\(E = \mathbb{R}^{2}.\) Soit \(f\) l'application de \(\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par
\(\big((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\big) \mapsto x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}.\)
C'est une forme bilinéaire symétrique.
On peut remarquer que c'est le « produit scalaire euclidien » usuel utilisé dans la géométrie classique du plan.
\(E = \mathbb{R}^{2}.\) Soit \(f\) l'application de \(\mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par
\(\big((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2})\big) \mapsto x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1}.\)
C'est une forme bilinéaire symétrique.