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Expression sur une base

Soit la base canonique de .

Soit une forme bilinéaire symétrique sur , et deux éléments de . On peut écrire et .

Alors :

et donc :

Pour aider à comprendre la construction de cette formule, on peut détailler ce calcul pour .

Exemple : Calcul dans le cas de n=3

Soit la base canonique de base de .

Soit une forme bilinéaire symétrique sur .

Soient et deux éléments de ; ils peuvent être écrit de manière unique sous la forme et .

Alors :

La linéarité par rapport à la première variable donne

En utilisant, pour chaque terme de la somme qui est au second membre, la linéarité par rapport à la seconde variable on obtient

Ci-après une version animée de ces transformations

La forme bilinéaire symétrique est donc entièrement définie par les scalaires . Comme est symétrique, il est immédiat que :

Réciproquement il est facile de vérifier que toute application de dans de la forme est une forme bilinéaire (les notations sont celles indiquées ci-dessus).

Cela permet donc d'énoncer la caractérisation, très utile dans la pratique :

Proposition : Caractérisation d'une forme bilinéaire sur Rn

Une application de dans est une forme bilinéaire sur si et seulement si il existe des scalaires tels que pour tout et s'écrive de la manière suivante :

Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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