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Matrice symétrique, formes quadratiques et formes bilinéaires symétriques

A partir d'une forme quadratique (ou d'une matrice symétrique) il est possible de construire une forme bilinéaire symétrique.

Théorème : Forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique ou à une matrice symétrique

Soit l'espace vectoriel et la base canonique de . Soit une matrice symétrique d'ordre à coefficients dans et la forme quadratique sur dont la matrice associée dans la base est égale à . Donc est définie par :

Alors :

  1. L'application de dans définie pour tout et par :

    est une forme bilinéaire symétrique sur telle que :

    On dit que c'est la forme bilinéaire symétrique associée à ou forme polaire de . On dit aussi que est la forme quadratique associée à .

  2. De plus on a :

  3. La matrice symétrique d'ordre à coefficients dans , est telle que :

    Elle est appelée matrice associée à par rapport à la base . On dit indifféremment matrice associée à ou à dans la base .

Preuve

Démonstration du 1 : elle est simple, il suffit de faire les calculs.

Démonstration du 2 :

Soit appartenant à . Alors en utilisant la bilinéarité de il vient :

Comme est symétrique cela donne :

D'où le résultat.

Démonstration du 3 :

Il suffit d'appliquer la formule avec .

On a alors l'expression matricielle :

Proposition

Les hypothèses et notations étant les mêmes que dans le théorème précédent, si et sont des éléments quelconques de , et les matrices colonnes dont les éléments sont les coordonnées de et respectivement dans la base canonique on a :

.

La preuve de cette propriété résulte de la propriété et de la formule . Alors :

or, d'une part les matrices et sont des matrices à une ligne une colonne donc égales à leur transposée, et d'autre part la matrice est symétrique. Donc :

et par conséquent .

Exemple : géométrie euclidienne classique

Soit et sa base canonique.

Soit l'application de dans définie pour tout de par :

.

C'est une forme quadratique sur .

Alors la matrice associée à dans la base canonique est la matrice unité d'ordre 3 et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (théorème précédent) est définie pour tout élément et par :

.

On reconnaît le produit scalaire euclidien de la géométrie classique, la quantité étant la norme euclidienne du vecteur .

Une relation globale entre forme quadratique et forme bilinéaire symétrique est précisée dans le théorème suivant.

Théorème : Isomorphisme entre S2(Rn) et Q(Rn)

Soient l'espace vectoriel des formes quadratiques sur et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur .

  1. L'ensemble a une structure d'espace vectoriel pour les opérations :

  2. L'application qui à appartenant à associe la forme bilinéaire symétrique définie par : vérifient les propriétés suivantes :

    i. C'est une bijection. L'application réciproque de est l'application qui à une forme bilinéaire symétrique associe la forme quadratique définie par :

    ii. L'application est linéaire c'est-à-dire vérifie les deux propriétés :

C'est donc un isomorphisme entre et .

Les vérifications sont immédiates.

  • Conséquence pratique :

Cela donne un procédé pratique pour déterminer explicitement la forme polaire d'une forme quadratique définie par :

Notons et les formes quadratiques et . La propriété équivaut à :

la propriété prouve que les formes et forment une famille génératrice de . Il est immédiat de vérifier qu'elles sont linéairement indépendantes. Elles définissent donc une base de .

Cette base est extrêmement utile pour déterminer simplement la forme polaire associée à une forme quadratique donnée (dans l'autre sens si on connaît la forme bilinéaire symétrique, trouver la forme quadratique associée est immédiat, il suffit d'écrire ).

En effet, à cause de l'isomorphisme indiqué dans le théorème, si est la forme polaire associée à , celle associée à et si , celle associée à , il vient :

et les formes bilinéaires symétriques et définissent une base de . Il ne reste donc qu'à les déterminer.

En utilisant la définition, il vient :

et

D'où la proposition :

Proposition : Base de Q(Rn) et de S2(Rn)

Les éléments de sont notés . Alors les formes quadratiques et définies par et définissent une base de . Leurs images par l'isomorphisme entre et sont les formes bilinéaires symétriques et , définies par :

et

Ces formes bilinéaires symétriques et définissent une base de .

Ce qui donne le corollaire pratique suivant :

Corollaire : Expression explicite de la forme polaire d'une forme quadratique

Si est une forme quadratique sur et la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (on dit aussi forme polaire de ), il existe des scalaires tels que pour tout , et tout :

Ce résultat est constamment utilisé dans la pratique.

Exemple

Soit .

Soit l'application de dans définie pour tout par

Ci-joint une version animée de ces étapes

Comme est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, c'est une forme quadratique et sa forme polaire est définie pour tout et de par .

La matrice associée à (ou à ) dans la base canonique de est :

.

Légende :
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