Généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques

Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbb R^n\) et \(B_{\mathbb R^n}=(e_1,e_2,...,e_n)\) la base canonique de \(E\). Soit \(A=(a_{i,j})\) une matrice symétrique d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbb R\) et \(q\) la forme quadratique sur \(\mathbb R^n\) dont la matrice associée dans la base \(B\) est égale à \(A\). Donc \(q\) est définie par :

\(\displaystyle{x=(x_1,x_2,...,x_n)\mapsto q(x)=\sum_{i=1}^{i=n} a_{i,i}{x_i}^2 + 2\sum_{1\le j\le n} a_{i,j} x_i x_j}\)

Alors :

1. L'application de \(\mathbb R^n\times \mathbb R^n\) dans \(\mathbb R\) définie pour tout \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\) et \(y=(y_1,y_2,...,y_n)\) par :

   \(\displaystyle{\displaystyle{(x,y)\mapsto f(x,y)=\sum_{\begin{array}{l} 1\le i\le n \\ 1\le j \le n \end{array}}a_{i,j}x_iy_j}}\)

   est une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb R^n\) telle que :

   \(\forall x\in \mathbb R^n, q(x)=f(x,x)\)

   On dit que c'est la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\) ou forme polaire de \(q\). On dit aussi que \(q\) est la forme quadratique associée à \(f\).

2. De plus on a :

   \(\forall(x,y)\in E\times E, f(x,y)=\frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]\)

3. La matrice symétrique d'ordre \(n\) à coefficients dans \(E\), \(A=(a_{i,j})\) est telle que :

   \(\forall(i,j), 1\le i \le n, 1\le j\le n, a_{i,j}=f(e_i,e_j)\)

   Elle est appelée matrice associée à \(f\) par rapport à la base \(B\). On dit indifféremment matrice associée à \(f\) ou à \(q\) dans la base \(B\).

Soient \(Q(\mathbb R^n)\) l'espace vectoriel des formes quadratiques sur \(\mathbb R^n\) et \(S_2(\mathbb R^n)\) l'ensemble des formes bilinéaires symétriques sur \(\mathbb R^n\).

1. L'ensemble \(S_2(\mathbb R^n)\) a une structure d'espace vectoriel pour les opérations :

   \(\begin{array}{clclc}&&\mathbb R^n \times \mathbb R^n &\rightarrow& \mathbb R\\f_1+f_2&:&(x,y)&\mapsto& f_1(x,y)+f_2(x,y)\\\lambda f &:& (x,y)&\mapsto& \lambda f(x,y)\end{array}\)

2. L'application \(T\) qui à \(q\) appartenant à \(Q(\mathbb R^n)\) associe la forme bilinéaire symétrique \(f_q\) définie par : \(f_q :(x,y)\mapsto \frac{1}{2}[q(x+y)-q(x)-q(y)]\) vérifient les propriétés suivantes :

   i. C'est une bijection. L'application réciproque de \(T\) est l'application qui à une forme bilinéaire symétrique \(f\) associe la forme quadratique définie par :

   \(\forall x\in \mathbb R^n, q(x)=f(x,x)\)

   ii. L'application \(T\) est linéaire c'est-à-dire vérifie les deux propriétés :

   • \(\forall(q,q')\in Q(\mathbb R^n)\times Q(\mathbb R^n),\quad T(q+q')=T(q)+T(q')\)

   • \(\forall q\in Q(\mathbb R^n), \forall \lambda \in \mathbb R\quad T(\lambda q)=\lambda T(q)\)

C'est donc un isomorphisme entre \(Q(\mathbb R^n)\) et \(S_2(\mathbb R^n)\).

Les éléments de \(\mathbb R^n\) sont notés \(x=(x_1,x_2,...,x_n)=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\). Alors les formes quadratiques \(q_i\) et \(q_{i,j}\) définies par \(q_i:x\mapsto {x_i}^2\) et \(q_{i,j}:x\mapsto x_ix_j\) définissent une base de \(Q(\mathbb R^n)\). Leurs images par l'isomorphisme entre \(Q(\mathbb R^n)\) et \(S_2(\mathbb R^n)\) sont les formes bilinéaires symétriques \(f_i\) et \(f_{i,j}\), définies par :

\(f_i(x,y)=x_i y_i\) et \(f_{i,j}(x,y)=\frac{1}{2}(x_iy_j+x_jy_i)\)

Ces formes bilinéaires symétriques \(f_i\) et \(f_{i,j}\) définissent une base de \(S_2(\mathbb R^n)\).

Si \(q\) est une forme quadratique sur \(\mathbb R^n\) et \(f\) la forme bilinéaire symétrique qui lui est associée (on dit aussi forme polaire de \(q\)), il existe des scalaires \(a_{i,j}\) tels que pour tout \(x=x_1e_1+x_2e_2+...+x_ne_n\), et tout \(y=y_1e_1+y_2e_2+...+y_ne_n\):

\(\displaystyle{q(x)=\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i,i}{x_i}^2+\sum_{1\le i<j\le n}\alpha_{i,j}{x_i}{x_j}}\)

\(\displaystyle{f(x,y)=\sum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i,i}x_iy_i+\frac{1}{2}\sum_{1\le i<j\le n}\alpha_{i,j}(x_i y_j+x_j y_i)}\)