Présentation

Lorsqu'on munit du produit scalaire usuel défini pour tous les vecteurs et de par , on dit que les vecteurs et sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Le produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique particulière.

L'objet de cette ressource est la généralisation à toutes les formes bilinéaires symétriques de la notion d'orthogonalité ainsi que des concepts qui s'y réfèrent.

Dans toute cette ressource le corps de base des espaces vectoriels considérés est soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes.

Définitions et résultats principaux

Soient un vectoriel, une forme bilinéaire symétrique sur , la forme quadratique associée à et un sous-espace vectoriel de .

  • Deux éléments et de tels que sont dits orthogonaux relativement à (ou orthogonaux pour , ou orthogonaux relativement à , ou orthogonaux pour , ou -orthogonaux, ou -orthogonaux).

  • Soit une partie non vide de . L'ensemble des vecteurs de qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de pour est appelé l'orthogonal de pour et est noté : .

  • Soient et deux parties non vides de : .

  • Si est non vide, est un sous-espace vectoriel de .

    L'orthogonal de est égal à l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par : .

  • L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel engendré par une famille finie de vecteurs de est égal à l'orthogonal de cette famille.

    .

  • On appelle noyau de (ou de ) l'orthogonal relativement à de l'espace vectoriel : .

  • La forme bilinéaire symétrique (ou la forme quadratique ) est dite non dégénérée si le noyau de (ou de ) est réduit au vecteur nul : .

  • Si est de type fini, la matrice associée à dans une base et le vecteur colonne dont les éléments sont les coordonnées dans du vecteur de , alors .

    La forme bilinéaire symétrique est non dégénérée si et seulement si .

  • Si est de type fini,

  • Un vecteur de est isotrope pour (ou ) s'il est orthogonal à lui même pour , ce qui s'écrit .

  • L'ensemble des vecteurs isotropes pour (ou ) s'appelle le cône isotrope de (ou ).

  • Le sous-espace est non isotrope pour si le vecteur nul est le seul vecteur de orthogonal à , c'est à dire si .

  • Le sous-espace est non isotrope pour si et seulement si est non dégénérée.

  • Si est un sous-espace vectoriel de de type fini, le sous-espace est non isotrope pour si et seulement si .

  • Tableau récapitulatif quand est de type fini :

Si est la matrice associée à dans une base et le vecteur colonne des coordonnées dans du vecteur de , alors .

Si est un sous-espace vectoriel de , on a l'égalité .

  • est non dégénérée si et seulement si

  • est non dégénérée si et seulement si

  • Si est non dégénérée, pour tout sous-espace vectoriel de , et .

  • est non isotrope si et seulement si .

  • est non isotrope si et seulement si est non-dégénérée.

  • est non isotrope si et seulement si .

Légende :
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