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Orthogonalité et isotropie (niveau 2)
Le test comporte 3 questions :
Orthogonalité relative à une forme quadratique sur R4
Orthogonalité relative à une forme quadratique sur C3
Recherche de tous les sous-espaces isotropes d'une forme quadratique sur R2
La durée indicative du test est de 70 minutes.
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Orthogonalité relative à une forme quadratique sur R4

Soit l'espace vectoriel et la forme quadratique sur définie par :

 :

  1. Déterminer la matrice associée à la forme quadratique par rapport à la base canonique .

    La forme quadratique est-elle dégénérée ?

  2. Déterminer le noyau de .

  3. Déterminer l'ensemble des vecteurs isotropes relativement à .

  4. Soit les sous-espaces

    et

    Déterminer Que constate-t-on ?

Orthogonalité relative à une forme quadratique sur C3

Soit l'espace vectoriel et la forme quadratique sur définie par :

Soit les vecteurs et les sous-espaces définis par :

  1. Déterminer la matrice associée à la forme quadratique par rapport à la base canonique . La forme quadratique est-elle dégénérée ?

  2. a. Pour chacun des vecteurs déterminer s'il est isotrope ou non.

    b. Le vecteur est-il orthogonal au vecteur ? au vecteur ?

    c. Le vecteur est-il orthogonal au vecteur ?

  3. Pour chacun des sous-espaces suivants,déterminer s'il est isotrope ou non isotrope:

Recherche de tous les sous-espaces isotropes d'une forme quadratique sur R2

Soit l'espace vectoriel et l'application de dans définie par :

  1. Montrer que est une forme quadratique. Déterminer la matrice associée par rapport à la base canonique Déterminer le noyau et le rang de .

  2. Trouver l'ensemble des vecteurs isotropes. Montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel de

  3. En raisonnant sur les dimensions, trouver tous les sous-espaces vectoriels de totalement isotropes et en déduire tous les sous-espaces vectoriels de isotropes.

Vous allez maintenant comparer vos réponses avec celles qui vous sont proposées.

Pour chaque question, vous vous noterez en fonction de la note maximum indiquée en tenant compte des indications éventuelles de barème.

A la fin du test un bilan de votre travail vous est proposé. Il apparaît entre autres une note liée au test appelée "seuil critique". Il s'agit de la note minimum qu'il nous paraît nécessaire que vous obteniez sur l'ensemble du test pour considérer que globalement vous avez assimilé le thème du test et que vous pouvez passer à la suite.

Orthogonalité relative à une forme quadratique sur R4
  1. La matrice associée à est : [2 points],

    son déterminant est nul donc la forme quadratique est dégénérée [1 point].

Remarque

Si on connaît la notion de signature, on remarque que la signature de est égale à et que la dimension de est 4 donc la forme quadratique est dégénérée.

  2. Recherche du noyau de , c'est à dire de l'orthogonal

Soit alors

D'où , le noyau de est le sous-espace vectoriel engendré par et . [4 points]

  3. Par définition le cône des isotropes est défini par l'égalité :

donc

Si on note le sous-espace vectoriel engendré par et celui engendré par , alors le cône des isotropes est la réunion de ces deux sous-espaces. . [4 points]

Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car cet ensemble n'est pas stable par addition : [2 points]

  4. Soit la forme bilinéaire symétrique, sur , associée à .

  • Le sous-espace vectoriel est engendré par et donc

    D'où [1 point]

  • Le sous-espace vectoriel est engendré par et donc

    D'où [2 points]

  • Recherche de :

    Ainsi le sous-espace vectoriel est engendré par , donc

    D'où [2 points]

  • Enfin comme les sous-espaces et sont égaux, leur somme est

    [1 point]

On constate que les sous-espaces et sont distincts. La forme quadratique est dégénérée et l'inclusion de dans est stricte. [1 point]

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Orthogonalité relative à une forme quadratique sur C3
  1. La matrice est [2 points]

    Cette matrice est inversible donc la forme quadratique n'est pas dégénérée. [2 points]

  2. a.

    Donc les vecteurs et sont isotropes [2 points], le vecteur n'est pas isotrope [1 point].

    b. Soit la forme bilinéaire symétrique, sur associée à

    et donc est orthogonal à [1 point] et n'est pas orthogonal à [1 point].

    c. donc est orthogonal à . [1 point]

    • D'après la question précédente, est orthogonal à lui-même et à donc il est orthogonal à .

      D'où est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Par un raisonnement analogue G est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Soit alors et d'où et donc et alors Ainsi est un sous-espace non isotrope. [2 points]

    • L'intersection des deux plans distincts et est la droite vectorielle soit , et le vecteur est orthogonal au vecteur , donc puis alors d'où

      Donc est un sous-espace non isotrope. [2 points]

    • et est orthogonal à lui-même donc est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • De même est un sous-espace isotrope. [1 point]

    • Etude de  :

      Donc or étant non dégénérée donc

      et est un sous-espace non isotrope. [1 point]

    • Enfin donc et sont des sous-espaces non isotropes. [1 point]

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Recherche de tous les sous-espaces isotropes d'une forme quadratique sur R2
  1. Comme est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées de dans la base canonique, est une forme quadratique sur . [1 point]

    La matrice associée à dans la base canonique est [1 point]

    Le déterminant de n'est pas nul, la matrice est inversible.

    Donc la forme n'est pas dégénérée, son noyau est réduit à , [1 point] et [1 point].

  2. Par définition l'ensemble des vecteurs isotropes, aussi appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité :

    donc ou

    Si on note la droite vectorielle engendrée par et celle engendrée par , alors le cône des isotropes est la réunion de ces deux droites.

    . [3 points]

    Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car cet ensemble n'est pas stable par addition : [2 points]

  3. Recherche des sous-espaces vectoriels de totalement isotropes

    Soit un sous-espace vectoriel de notons , alors

    La définition de totalement isotrope est : et Ceci équivaut à et

    • Si n'est pas totalement isotrope. [1 point]

    • Si est une droite vectorielle, d'après la question précédente, il existe deux droites vectorielles contenues dans le cône des isotropes.

    • Si n'est pas totalement isotrope. [1 point]

    Conclusion : il existe deux sous-espaces vectoriels de totalement isotropes, ce sont et [3 points]

    Recherche des sous-espaces vectoriels de isotropes

    Soit un sous-espace vectoriel de notons alors

    D'après le cours, sous-espace vectoriel isotrope équivaut à

    • Si n'est pas isotrope. [1 point]

    • Si donc n'est pas isotrope. [1 point]

    • Si est une droite vectorielle, or un sous-espace isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

    En effet si et si alors le sous-espace non nul coïncide avec D'où et est totalement isotrope.

    Autre démarche : le sous-espace étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul , soit un vecteur non nul de alors est un vecteur isotrope et tout vecteur de est aussi isotrope. D'où et est totalement isotrope.

    Conclusion : il existe deux sous-espaces vectoriels de isotropes, ce sont et [3 points]

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Bilan
Nombre de questions :3
Score obtenu :/60
Seuil critique :45
Temps total utilisé :
Temps total indicatif :70 min.
Conclusion :
Légende :
Apprendre
S'évaluer
S'exercer
Observer
Simuler
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