Recherche de tous les sous-espaces isotropes d'une forme quadratique sur R2
Durée : 20 mn
Note maximale : 20
Question
Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbb{R}^{2}\) et \(q\) l'application de \(E\) dans \(\mathbb{R}\) définie par :
\(q :x = (x_{1},x_{2}) \mapsto 4x_{1}^{2} - x_{2}^{2}.\)
Montrer que \(q\) est une forme quadratique. Déterminer la matrice associée par rapport à la base canonique \((e_{i})_{1\le i\le2}.\) Déterminer le noyau et le rang de \(q\).
Trouver l'ensemble \(\mathfrak{I}\) des vecteurs isotropes. Montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\)
En raisonnant sur les dimensions, trouver tous les sous-espaces vectoriels de \(E\) totalement isotropes et en déduire tous les sous-espaces vectoriels de \(E\) isotropes.
Solution
Comme \(q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées \(x_{1}\) de \(x\) dans la base canonique, \(q\) est une forme quadratique sur \(E\). [1 point]
La matrice associée à \(q\) dans la base canonique est \(\displaystyle{ M = \left(\begin{array}{r r} 4 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)} .\) [1 point]
Le déterminant de \(M\) n'est pas nul, la matrice est inversible.
Donc la forme \(q\) n'est pas dégénérée, son noyau est réduit à \(\{0\}\), \(E^{\perp} = \{0\}\) [1 point] et \(\textrm{rang}(q) = 2\) [1 point].
Par définition l'ensemble des vecteurs isotropes, aussi appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité : \(\mathfrak{I} = \{ x \in E ; q(x) = 0 \},\)
donc \(x \in \mathfrak{I} \Leftrightarrow (2 x_{1} - x_{2} ) (2x_{1} + x_{2}) = 0 \Leftrightarrow x_{2} = 2x_{1}\) ou \(x_{2} = -2x_{1}.\)
Si on note \(\Delta_{1} = \{x \in E ; x_{2} = 2 x_{1}\}\) la droite vectorielle engendrée par \(e_{1} + 2e_{2}\) et \(\Delta_{2} = \{x \in E ; x_{2} = -2x_{1}\}\) celle engendrée par \(e_{1} - 2e_{2},\), alors le cône des isotropes est la réunion de ces deux droites.
\(\mathfrak{I} = \Delta_{1} \cup \Delta_{2}\). [3 points]
Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car cet ensemble n'est pas stable par addition : \(e_{1} + 2e_{2} \in \mathfrak{I}, e_{1} - 2 e_{2} \in \mathfrak{I} , (e_{1} + 2e_{2}) + (e_{1} - 2e_{2}) \notin \mathfrak{I}.\) [2 points]
Recherche des sous-espaces vectoriels de \(E\) totalement isotropes
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E,\) notons \(p = \textrm{dim}~F\), alors \(0\le p \le 2.\)
La définition de \(F\) totalement isotrope est : \(F \ne \{0\}\) et \(F \subset F^{\perp}.\) Ceci équivaut à \(F \ne \{0\}\) et \(F \subset \mathfrak{I}.\)
Si \(p = 0,\) \(F = \{0\},\) \(F\) n'est pas totalement isotrope. [1 point]
Si \(p = 1,\) \(F\) est une droite vectorielle, d'après la question précédente, il existe deux droites vectorielles contenues dans le cône des isotropes.
Si \(p = 2,\) \(F = E ,\) \(F \nsubset \mathfrak{I},\) \(F\) n'est pas totalement isotrope. [1 point]
Conclusion : il existe deux sous-espaces vectoriels de \(E\) totalement isotropes, ce sont \(\Delta_{1} = \{x \in E ; x_{2} = 2x_{1} \}\) et \(\Delta_{2} = \{ x \in E ; x_{2} = -2 x_{1} \}.\) [3 points]
Recherche des sous-espaces vectoriels de \(E\) isotropes
Soit \(G\) un sous-espace vectoriel de \(E,\) notons \(p = \textrm{dim}~G,\) alors \(0\le p \le2 .\)
D'après le cours, \(G\) sous-espace vectoriel isotrope équivaut à \(G\cap G^{\perp} \ne \{0 \}.\)
Si \(p = 0,\) \(G = \{0 \} ,\) \(G\) n'est pas isotrope. [1 point]
Si \(p = 2,\) \(G = E,\) \(G^{\perp} = \{0\}\) donc \(G \cap G^{\perp} = \{0\},\) \(G\) n'est pas isotrope. [1 point]
Si \(p = 1,\) \(G\) est une droite vectorielle, or un sous-espace \(G\) isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.
En effet si \(\{0\} \subsetneq G \cap G^{\perp} \subset G\) et si \(\textrm{dim}~G = 1,\) alors le sous-espace non nul \(G\cap G^{\perp}\) coïncide avec \(G.\) D'où \(G \subset G^{\perp}\) et \(G\) est totalement isotrope.
Autre démarche : le sous-espace \(G\) étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul \(u\), \(G =\textrm{R}u ;\) soit \(v\) un vecteur non nul de \(G \cap G^{\perp}\) alors \(v\) est un vecteur isotrope et tout vecteur de \(G\) est aussi isotrope. D'où \(G \subset \mathfrak{I}\) et \(G\) est totalement isotrope.
Conclusion : il existe deux sous-espaces vectoriels de \(E\) isotropes, ce sont \(\Delta_{1} = \{ x \in E ; x_{2} = 2 x_{1} \}\) et \(\Delta_{2} = \{ x \in E ; x_{2} = -2 x_{1} \}.\) [3 points]