Produit mixte
On utilise le produit vectoriel, non seulement pour déterminer des directions normales, mais aussi pour calculer des aires et des volumes. Nous avons vu que la longueur du produit vectoriel \(\vec{V} \land\vec{V'}\) était égale à l'aire\(A\)du parallélogramme construit sur les deux vecteurs \(\vec{V}\)et\(\vec{V'}\).
\(\mathfrak{A}=\sqrt{(y~z'-z~y')^2+(z~x'-x~z')^2+(x~y'-y~x')^2}\)
Pour obtenir le volume ν du parallélépipède construit sur trois vecteurs \(\vec{U}, \vec{V}~et~\vec{V'}\), il suffit de calculer le produit mixte produit mixte \(\vec{U}.~\left(\vec{V} \land\vec{V'}\right)\) des trois vecteurs \(\vec{U},\vec{V}~et~\vec{V'}\) et d'en prendre la valeur absolue.
\(\nu=\left|\vec{U}.~\left(\vec{V} \land\vec{V'}\right)\right|\)