Droites et plans

Soit \(A(a, b, c)\) un point et \(V(u, v, w)\) un vecteur non nul. On note \(P\) le plan passant par \(A\) et perpendiculaire à \(\vec{V}\). On peut trouver une équation de \(P\) en exprimant qu'un point quelconque \(M(x, y, z)\) appartient à \(P\) si et seulement si le vecteur \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec{V}\), c'est-à-dire si et seulement si \(\overrightarrow{AM} . \vec{V} = 0\). Ceci donne l'équation :

\(u~(x - a) + v~(y - b) + w~(z - c) = 0\).

Cette équation est une équation implicite en x, y, z, du type général

\(ux + vy + wz = d\).

Réciproquement, il est clair que toute équation de ce type détermine un plan, pourvu que \((u, v, w) \neq(0, 0, 0).\)

Soit \(A(a, b, c)\) un point, \(\vec{V_{1}} (u_{1}, v_{1}, w_{1})~et~\vec{V_{2}} (u_{2}, v_{2}, w_{2})\) deux vecteurs non colinéaires.

On note \(P\) le plan passant par \(A\) et dirigé selon \(\vec{V_{1}}~et~\vec{V_{2}}\). Un point \(M(x, y, z)\) appartient à \(P\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) est combinaison linéaire de \(\vec{V_{1}}~et~\vec{V_{2}}\) :

\(M \in P \Leftrightarrow\exists \lambda \in \mathbb{R},~\exists \mu \in \mathbb{R},~~ \overrightarrow{AM}=\lambda\vec{V}+\mu\vec{V}\)

ou encore en prenant les composantes :

\(M \in P \Leftrightarrow\exists \lambda \in \mathbb{R},~\exists \mu \in \mathbb{R},~~ \left\{ \begin{array}{lll} x &=& a+\lambda u_{1}+\mu u_{2}\\ y &=& b+\lambda v_{1}+\mu v_{2}\\ z &=& c+\lambda w_{1}+\mu w_{2} \end{array}\right.\)

On dit que les équations

\(\left\{ \begin{array}{lll} x &=& a+\lambda u_{1}+\mu u_{2}\\ y &=& b+\lambda v_{1}+\mu v_{2}\\ z &=& c+\lambda w_{1}+\mu w_{2} \end{array}\right.\)

sont un système d'équations paramétriques pour \(P\).