Droites et plans

Soit \(P\) défini par une équation implicite donnant les coordonnées en fonction des paramètres. On cherche des équations paramétriques pour \(P\). Il suffit de considérer l'équation donnant les coordonnées en fonction des paramètres comme un système de 1 équation à 3 inconnues \((x, y, z)\) et ... de le trianguler.

On trouvera ainsi les trois inconnues en fonction de deux d'entre elles (qui seront les paramètres \(\lambda~et~\mu\)).

Exemple : l'équation implicite de \(P\) étant \(2x + y - 3z = 4\), on pivotera (sur \(y\)) pour calculer les inconnues en fonction de \(x~et~z\). On trouve les équations implicites par rapport aux paramètres \(x\) et \(z\) :

\(\left\{ \begin{array}{lll} x &=& x \\ y &=& 4-2x+3z \\ z &=& z \end{array}\right.\)

On peut aussi écrire \(\left\{ \begin{array}{lll} x &=& \lambda \\ y &=& 4-2\lambda+3\mu \\ z &=& \mu \end{array}\right.\)

Bien entendu, en choisissant un autre pivot possible, on aurait pu aussi obtenir \(x, y, z\) en fonction de \(x~et~y\), ou en fonction de \(y~et~z\).

Soit \(P\) défini par des équations paramétriques donnant les coordonnées en fonction des paramètres. On cherche une équation implicite pour \(P\). Il est possible de le faire en retrouvant les vecteurs \(\vec{V_{1}}~et~\vec{V_{2}}\) et en posant\( \vec{V}=\vec{V_{1}} \land\vec{V_{2}}\ldots\) , mais nous allons ici prendre une autre méthode basée sur les systèmes linéaires : pour cela, nous considérons le système donnant les coordonnées en fonction des paramètres comme un système de 3 équations (!) à 2 inconnues (\(\lambda~et~\mu\)) et 3 paramètres \((x, y, z)\). On triangule ce système par la méthode de Gauss. La condition de possibilité du système est l'équation cherchée (il sera en général inutile de pousser la résolution jusqu'au calcul des inconnues \(\lambda~et~\mu\)).

Exemple : soit P donné par \(\left\{ \begin{array}{lcl} x &=& 2+\lambda+\mu \\ y &=& \lambda+2\mu \\ z &=& 3-\lambda+\mu \end{array}\right.\)

On triangule le système en considérant λ et μ comme inconnues :

\(\begin{array}{ll|l} \lambda & \mu \\ \hline 1& 1 & x-2 \\ 0&1&y-x+2 \\ 0&0&3x-2y+z-9 \end{array}\)

L'équation implicite cherchée est \(3x - 2y + z = 9\)